20. Собственные значения и собственные векторы линейных преобразований. Порядок нахождения собственных векторов линейного пространства.

Пусть А – квадратная матрица с действительными элементами

λ - неизвестная.

Е – единичная матрица, тогда (А- λЕ) – характеристическая матрица матрицы А.

|A- E|- многочлен относительно порядка 

|A- E| - характеристический многочлен матрицы А.

Корни |A- E|=0 - характеристические корни матрицы А.

Теорема: Подобные матрицы обладают подобными характеристическими многочленами, а значит и одинаковыми характеристическими корнями.

Доказательство:

В связи с этим, если А – любая матрица лин. преобразования , то многочлен | наз. характеристическим многочленом преобразования , а его корни (действительные и комплексные) наз. характеристическими корнями этого преобразования. Весь набор характеристических корней с условием их кратности – спектр лин. преобразования.

Хотя линейное преобразование φ может задаваться в разных базисах разными матрицами, однако все они имеют один набор характеристических корней.

Пусть в лин. пространстве V_n задано φ, если вектор переводится φ в вектор пропорциональный самому вектору, то есть , где - действительное число, тогда - собственный вектор преобразования φ , а - собственное значение этого преобразования.

Нулевой вектор не считается собственным вектором преобразования.

Теорема: Действительные характеристические корни лин. преобразования φ, если они существуют и только служат собственными значениями этого преобразования.

Доказательство: Пусть лин. преобразование  в базисе e₁,e₂,…e_n задается матрицей А.

Пусть

- характеристический корень

Достаточность: Пусть - характеристический корень . Это означает, что (7) справедливо и = (6). Из (6) => что система (5) имеет ненулевое решение. Обозначим через ненулевые решения (5) и преобразуем к виду (4). (4) запишем в матричном виде (3). Поскольку А – матрица преобразования , то справедливо (2). Из (2) и (3) => (1).

b – собственный вектор, – собственное значение.

21. Определение эвклидового пространства. Примеры. Длина вектора и угол между векторами в эвклидовом пространстве.

Если в лин. пространстве V_n определено скалярное произведение векторов, то это пространство называется эвклидовым пространством. Если выполняются след. условия:

1. (a,b) = (b,a)

2. (a, b+c) = (a,b) + (a,c)

3. (a, b) = (a,b)

4.

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства: вещественная прямая, евклидова плоскость, евклидово трехмерное пространство.

Длинной вектора в E_n наз. число

Угол между векторами:

22. Неравенство Коши-Буняковского в эвклидовом пространстве. Неравенство треугольника.

Теорема: В любом E_n для любых векторов a и b справедливо наз. неравенство Коши-Буняковского.

Доказательство: Пусть – произвольное число.

Теорема: Во всяком E_n для любой пары векторов (a, b) справедливо неравенство треугольника |a+b|≤|a|+|b|