5. Корень многочлена. Теорема Безу. Схема Горнера деления многочлена на многочлен первой степени.

Теорема Безу. Рассмотрим . Если , то . Число – корень многочлена, если . Значение многочлена , при равно остатку от деления на многочлен

Доказательство: ; .

Следствие: элемент является корнем , когда

Схема Горнера.

f(x)=(x-c)q( r) +r

A0xn+A1xn-1+…+ A(n-1)x + An=(x-c)(Bo xn-1+B1xn-2+ …+ B(n-1))+r

Xn: A0=B0 B0=A0

Xn-1:A1=B1-c*B0 B1=B1+c*B0

…………

X1: A(n-1)=B(n-1)-c*B(n-2) B(n-1)= A(n-1)+ c*B(n-2)

X0: An=r r = An+c*B(n-1)

Многочлен S(x) называется делителем многочлена f(x) если существует Р(x) : f(x) = S(x)*P(x). Для любых многочленов f(x) и g(x) можно указать такие 2 многочлена Q(x) и R(x) что f(x) = g(x)*Q(x)+R(x), при этом Q(x) и R(x) определяются однозначно.

Доказательство.

Q1(x), R1(x) : f(x) = g(x)*Q1(x)+ R1(x)

R1(x)<Q1(x)

_q(x)-Q1(x)=R1(x)-r(x)

_q(x)=Q1(x) r(x)=R1(x) следовательно представление однозначно.

8. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.

Теорема. Если целое число является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то оно является делителем свободного члена .

Доказательство. – целые числа –корень –целые числа; не является корнем –целый корень .

Порядок нахождения целых корней:

• Выписать все делители

• Для каждого делителя определяем выражение вида . Если хотя бы одно из них не целое число, то вычеркиваем из кандидатов.

• Если оба выражения – целые числа, то подставляем делитель в многочлен.

Теорема о рациональных корнях многочлена. Если многочлен имеет рациональный корень , то – является делителем , a – делителем старшего коэффициента .

Доказательство. Пусть – корень многочлена . Тогда ;

Следствие. Если многочлен с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен единице, имеет рациональный корень, то этот корень – целое число

9. Многочлены с действительными коэффициентами. Теорема про комплексные корни многочлена.

Рассмотрим многочлен – действительные числа.

Теорема. Комплексные корни многочлена входят в него попарно сопряженные:

Лемма. Если число получено в результате действий сложения, вычитания, умножения, деления , то, заменив на сопряженные, и проделав те же самые операции, получим: ; ;

Доказательство теоремы: ; ;

10. Границы действительных корней многочлена. Лемма о знаке старшего члена многочлена. Некоторые способы оценки корней многочленов.

Лемма. При достаточно больших , а именно , знак многочлена определяется знаком старшего члена . Все корни многочлена содержатся внутри круга ;

Оценка верхней границы положительных корней.

Рассмотрим многочлен

1

2) - обозначим номер первого отрицательного коэффициента

3) Через - обозначим , где .

Тогда ;

Оценка нижней границы.