92. Абсолютная и условная сходимость

Ряд (1) (с членами произвольных знаков) заведомо сходится, если сходится положительный ряд (2): составленный из абсолютных значений членов данного ряда.

Остаток данного ряда (1) по абсолютному значению не превосходит соответствующего остатка ряда (2).

Сумма S данного ряда(1) по абсолютному значению не превосходит суммы S' ряда (2). |S|S'. Равенство имеет место только тогда, когда все члены ряда (1) — одного знака.

Замечание 1. Ряд (1) может сходиться и тогда, когда ряд (2) расходится.

Определение 1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений его членов (в этом случае сходится и данный ряд).

Определение 2. Ряд называется условно схо­дящимся, если он сходится, но ряд, составленный из абсолютных значений его членов, расходится.

Замечание 2. Сходящийся ряд, у которого все члены положительны или все члены отрицательны, - абсолютно сходящийся.

92. Степенной ряд.

Степенным рядом называется ряд вида (1): а_о+а₁х+а₂х²+...+а_пх^п+...,

а также ряд более общего вида (2): а_о+а₁(х-х₀)+а₂х²(х-х₀) ²+...+а_пх^п(х-х₀) ⁿ+...,

говорят, что он расположен соответственно по степеням х, или по степеням х - х₀.

Постоянные а₀, a₁, ... , а_п, ... называются коэффициентами степенного ряда.

Если обозначить х-х₀ через z, то ряд (2) окажется расположенным по степеням z, т. е. примет вид (1). Поэтому в дальнейшем, если особо не оговорено, степенным рядом именуется ряд вида (1). Степенной ряд всегда сходится при х=0.

Относительно сходимости его в других точках могут представиться три случая

1. степенной ряд может расходится во всех точках, кроме х=0, например,

1¹х¹+2²х²+3³х³+…+п^пх^п+ ...,

2. степенной ряд может сходиться во всех точках, например,

3. степенной ряд может сходиться в одних точках и расходится в других.

92. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х

Теорема Область сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х есть (-R, R), симметричный относительно точки х=0. Иногда в него надо включить оба конца, иногда только один, а иногда надо оба конца исключить.

Промежуток (-R, R) называется промежутком сходимости, положительное число R — радиусом сходимости степенного ряда. Внутри этого промежутка ряд сходится, вне его расходится. Необходимо, также, исследовать сходимость ряда на концах интервала.

Если степенной ряд сходится только в точке х=0, то R=0. Если ряд сходится во всех точках, то говорят, что радиус сходимости равен бесконечности (R=).

Теорема Радиус сходимости R степенного ряда равен пределу отношения при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует:

92. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х-а

Теорема 1. Область сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х-а есть некоторый промежуток (а-R, а+R), симметричный относительно точки х=а. Иногда в него надо вклю­чить оба конца, иногда только один, а иногда надо оба конца исключить.

Теорема 2. Радиус сходимости R степенного ряда, расположенного по степеням х-а равен пределу отношения при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует: .

Найти область сходимости ряда