- •Алгебраическая форма комплексного числа.
- •Геометрическое изображение комплексных чисел.
- •Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Основные действия над комплексными числами в алгебраической форме.
- •Основные действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
- •Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа.
- •Комплексные числа
- •Комплексные числа и действия над ними.
Лекция 2. Комплексные числа.
Алгебраическая форма комплексного числа.
Определение 1: Комплексным числом z (записываемым а алгебраической форме) называется выражение z=а+ib, где а и b - действительные числа; i - так называемая мнимая единица, определяемая равенством ; а называется действительной или вещественной частью, b — мнимой частью числа z. Их обозначают так: а=Rez; b=Imz. Заметим, что знак + в этом выражении не есть знак действия, а просто это выражение нужно рассматривать как единый символ для обозначения комплексного числа.
Определение 2 Если а=0, то число 0+ib=ib называется чисто мнимым; если b=0, то получается действительное число: а+i0=а.
Определение 3 Два комплексных числа z=а+ib и z=а-ib, отличающихся только знаком мнимой части, называются сопряженными.
Определение 4 Два комплексных числа z1=а1+ib1 и z2=а2+ib2, считаются равными z1=z2, если равны в отдельности их действительные и мнимые части, то есть а1=а2, b1=b2. Понятия больше или меньше для комплексных чисел не существует.
Определение 5 Комплексное число z равно нулю тогда и только тогда, когда равны в отдельности нулю его действительная и мнимая части, то есть а=0, b=0.
Геометрическое изображение комплексных чисел.
Всякое вещественное число геометрически можно изобразить точкой на вещественной оси и, обратно, каждой точке на оси соответствует вещественное число.
Всякое комплексное число z=а+ib можно изобразить на плоскости Оху в виде точки А(а, b) с координатами а и b. Обратно, каждой точке плоскости М(х, у) соответствует комплексное число z=х+iу.
Определение 1 Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексного переменного z.
Точкам плоскости комплексного переменного z, лежащим на оси Ох, соответствуют действительные числа (b=0).
Точкам плоскости комплексного переменного z, лежащим на оси Оу, соответствуют чисто мнимые числа (a=0).
Определение 2: На плоскости комплексного переменного z ось Оу называют мнимой осью, а ось Ох называют действительной осью.
Соединив точку А(а, b) с началом координат, получим вектор ОА, который принято считать геометрическим изображением комплексного числа z=а+ib.
Кроме записи z=а+ib употребляют z=х+iу.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Итак, геометрическим изображением комплексного числа z=а+ib является вектор, начало которого в точке (0; 0), а конец в точке (а; b). Любой вектор имеет две характеристики: модуль и направление.
Длина вектора, изображающего комплексное число z, называется модулем (абсолютной величиной) комплексного числа и обозначается r=|z.
Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором, изображающего комплексное число z, называется аргументом комплексного числа и обозначается =argz.
Тогда а=rcos, b=rsin, а следовательно, комплексное число z можно представить в форме: а+ib=rcos+irsin или z=r(cos+isin).
Определение 1: Выражение z=r(cos+isin), называется тригонометрической формой записи комплексного числа z=а+ib.
Величины r и выражаются через а и b, очевидно, так:
Аргумент комплексного числа считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки, и отрицательным при противоположном направлении отсчёта. Очевидно, что аргумент определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого 2k, где k — любое целое число.
Замечание: Сопряженные комплексные числа а+ib и а-ib имеют равные модули, а их аргументы равны по абсолютной величине, но отличаются знаком.
Действительное число А так же может быть записано в тригонометрической форме комплексного числа, а именно:
A=|A|(cos0+isin0) при А>0,
A=|A|(cos+isin) при А<0.
Модуль комплексного числа 0 равняется нулю 0: |0|=0. В качестве же аргумента нуля можно взять любой угол . Действительно, для любого угла имеет место равенство: 0=0(cos+isin).
Кроме алгебраической и тригонометрической форм комплексного числа имеет место показательная форма комплексного числа.
Определение 2: Выражение r·еi, называется показательной (экспоненциальной) формой записи комплексного числа z=а+ib; r называется модулем, комплексного числа z, — аргументом комплексного числа z.
z=r(cos+isin)=r·еi.