Лекция 21. Дифференциальные уравнения.

90. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка (лду−II)

ЛДУ−II называется уравнение вида: у+Р(x)у+Q(x)у=R(x), где функции Р(х), Q(x), R(x) не зависят от х.

Если R(x)=0, то уравнение называется уравнением без правой части или однородным ЛОДУ−II.

Если R(x)≠0, то уравнение называется уравнением с правой части или неоднородным ЛНДУ−II.

Лоду−II с постоянными коэффициентами.

ау+bу+cу=0, где а, b, c – некоторые постоянные.

Составим характеристическое уравнение аk²+bk+c=0, которое в зависимости от D может иметь различные решения.

• если D>0, то аk²+bk+c=0 имеет два различных действительных корня k₁ и k₂, тогда ЛОДУ−II имеет общее решение вида:

• если D=0, то аk²+bk+c=0 имеет два совпавших действительных корня k₁=k₂=k, тогда ЛОДУ−II имеет общее решение вида:

• если D<0, то аk²+bk+c=0 имеет два различных комплексных корня k_1,2=i, тогда ЛОДУ−II имеет общее решение вида:

1. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:

D>0	D=0	D<0
у″-2y′-3у=0 Составим характеристическое уравнение: k2-2k-3=0, которое имеет два различных действительных корня у=С1е-х+С2е3х - общее решение, где .	у″-2y′+у=0 Составим характеристическое уравнение: k2-2k+1=0, которое имеет два совпавших действительных корня у=С1ех+хС2ех или у=ех(С1+С2х) - общее решение, где .	у″+2y′+5у=0 Составим характеристическое уравнение: k2+2k+5=0, которое имеет два комплексных корня у=е-х(С1cos2x+С2sin2x) - общее решение, где .
у″+3y′-4у=0	у″+4y′+4у=0	у″-2y′+10у=0
у″+y′-6у=0	у″-6y′+9у=0	у″+3у=0