Лнду−II с постоянными коэффициентами.
ау+bу+cу=R(x), где а, b, c – некоторые постоянные.
Его общее решение
имеет вид:
,
где
- общее решение
ЛОДУ−II
ау+bу+cу=0;
- частное решение
ЛНДУ−II
ау+bу+cу=R(x),
которое ищется, в зависимости от правой
части по одному из правил.
Правило 1: если правая часть R(x)=Р(х)еkx, где Р(х) – какой-либо многочлен степени m, и если:
k – не является корнем характеристического уравнения аk2+bk+c=0, то у*=Q(х)еkx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.
k – является однократным корнем характеристического уравнения (то есть один из неравных корней D>0) аk2+bk+c=0, то у*=хQ(х)еkx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.
k – является двукратным корнем характеристического уравнения (то есть один из равных корней D=0) аk2+bk+c=0, то у*=х2Q(х)еkx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.
Замечание 1: Если множитель Р(х) – есть постоянная величина (многочлен нулевой степени), то Q(x) – тоже постоянная величина (многочлен нулевой степени).
Замечание 2: Если множитель R(х) –многочлен, то есть k=0, то y* тоже многочлен.
Правило 2: если правая часть R(x)=еx(P1(x)cosx+P2(x)sinx) где P1(x) и P2(x) –многочлены соответственно степеней m1 и m2, и если:
комплексные числа i – не является корнями характеристического уравнения аk2+bk+c=0, то у*=еx(Q1(x)cosx+Q2(x)sinx), где Q1(x) и Q2(x) –многочлены, степени которых не превышают старшей из степеней m1 и m2.
комплексные числа i – является корнями характеристического уравнения аk2+bk+c=0, то у*=хеx(Q1(x)cosx+Q2(x)sinx), где Q1(x) и Q2(x) –многочлены, степени которых не превышают старшей из степеней m1 и m2.
Виды многочленов:
Многочлен n-ой степени |
А0хn+А1хn-1+…+Аn-2х2+Аn-1х+Аn или Ахn+Вхn-1+…+Uх2+Vх+W |
Примеры |
Многочлен четвёртой степени |
Ах4+Вх3+Сх2+Dх+E |
х4-2х3+3х2+8, где А=1; В=-2; С=3; D=0; E=8; |
Многочлен третьей степени |
Ах3+Вх2+Сх+D |
2х3-х2+4х, где А=2; В=-1; С=4; D=0; |
Многочлен второй степени |
Ах2+Вх+С |
-х2+4х-3, где А=-1; В=4; С=-3; |
Многочлен первой степени |
Ах+В |
х+8, где А=1; В=8; |
Многочлен нулевой степени |
А |
1, где А=1. |
Найти общее решение ДУ II и решение задачи Коши:
k – не является корнем у*=Q(х)еkx |
k – является однократным корнем у*=х·Q(х)еkx |
k – является двукратным корнем у*=х2·Q(х)еkx |
у″-2y′-3у=8еx, x0=0, у0=-2, у′0=2. Составим ЛОДУ−II: у″-2y′-3у=0 Характеристическое уравнение: k2-2k-3=0 имеет два различных действительных корня
у=С1е-х+С2е3х - общее решение ЛОДУ−II, где С1=const, С2=const.
Правая часть ЛНДУ−II имеет вид: R(x)=8еx, (R(x)=Р(х)еkx) Р(х)=8 – многочлен нулевой степени, k=1 – не является корнем, поэтому ищем решение в виде: у*=Аеx у*′=Аеx у*″=Аеx Подставим полученные выражения в ЛНДУ−II Аеx-2Аеx-3Аеx=8еx -4Аеx=8еx А=-2
у*=-2еx - частное решение ЛНДУ−II.
у=С1е-х+С2е3х-2еx − общее решение ЛНДУ−II
Ищем частное решение ЛНДУ−II, удовлетворяющее заданным начальным условиям, что x0=0, у0=-2, у′0=2.
у=С1е-х+С2е3х-2еx у′=-С1е-х+3С2е3х-2еx
у=-е-х+е3х-2еx − частное решение ЛНДУ−II, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
|
у″-2y′-3у=-16хе-x, у(0)=-3, y(0)=1 Составим ЛОДУ−II: у″-2y′-3у=0 Характеристическое уравнение: k2-2k-3=0 имеет два различных действительных корня
у=С1е-х+С2е3х - общее решение ЛОДУ−II, где С1=const, С2=const.
Правая часть ЛНДУ−II имеет вид: R(x)=-16хе-х, (R(x)=Р(х)еkx) Р(х)=-16х – многочлен первой степени, k=-1 – является однократным корнем, поэтому ищем решение в виде: у*=х·(Ах+В)е-x=(Ах2+Вх)е-x у*′=(-Ах2+2Ах-Вх+В)е-x у*″=(Ах2-4Ах+Вх+2А-2В)е-x Подставим полученные выражения в ЛНДУ−II (Ах2-4Ах+Вх+2А-2В)е-x-2(-Ах2+2Ах-Вх+В)е-x-3(Ах2+Вх)е-x=-16хе-x (-4Вх+2А-8Ах)е-x=-16хе-x А=2, В=1 у*=(2х+1)е-x - частное решение ЛНДУ−II.
у=С1е-х+С2е3х+(2х+1)е-x − общее решение ЛНДУ−II
Ищем частное решение ЛНДУ−II, удовлетворяющее заданным начальным условиям, что у(0)=-3, y(0)=1.
у=С1е-х+С2е3х+(2х+1)е-x у′=-С1е-х+3С2е3х+(-2х2+3х+1)е-x
у=-3е-х-е3х+(2х+1)е-x − частное решение ЛНДУ−II, удовлетворяющее заданным начальным условиям. |
у″+2y′+у=2е-x, у(0)=2, y(0)=1 Составим ЛОДУ−II: у″+2y′+у=0 Характеристическое уравнение: k2+2k+1=0 имеет два совпавших действительных корня
у=С1е-х+С2хе-х - общее решение ЛОДУ−II, где С1=const, С2=const.
Правая часть ЛНДУ−II имеет вид: R(x)=2е-x, (R(x)=Р(х)еkx) Р(х)=2 – многочлен нулевой степени, k=-1 – является двукратным корнем, поэтому ищем решение в виде: у*=Ах2е-x у*′=А(-х2+2х)е-x у*″=А(х2-4х+2)е-x Подставим полученные выражения в ЛНДУ−II А(х2-4х+2)е-x+2А(-х2+2х)е-x+Ах2е-x =8е-x 2Ае-x=2е-x А=1
у*=х2е-x - частное решение ЛНДУ−II.
у=С1е-х+С2хе-х+ х2е-x − общее решение ЛНДУ−II
Ищем частное решение ЛНДУ−II, удовлетворяющее заданным начальным условиям, что у(0)=2, y(0)=1.
у=С1е-х+С2хе-х+ х2е-x у′=-С1е-х+С2е3х-С2хе-х+2хеx-х2еx
у=2е-х+3хе-х+х2е-x − частное решение ЛНДУ−II, удовлетворяющее заданным начальным условиям. |
