Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:

i – не являются корнями

у*=е^x(Q₁(x)cosx+Q₂(x)sinx)

i – являются корнями

у*=хе^x(Q₁(x)cosx+Q₂(x)sinx)

у″+4у=(9x-3)sinx

Составим ЛОДУ−II

у″+4у=0

Характеристическое уравнение:

k²+4=0 имеет два различных комплексных корня

у=С₁cos2x+С₂sin2x- общее решение ЛОДУ−II, где С₁=const, С₂=const.

Правая часть ЛНДУ−II имеет вид:

R(x)=(9x-3)sinx, (R(x)=е^x(P₁(x)cosx+P₂(x)sinx))

=0, =1;

Р₁(х)=0 – многочлен нулевой степени,

Р₂(х)=9x-3 – многочлен первой степени,

i=i – не являются корнями, поэтому ищем решение в виде:

у*=(Аx+В)cosx+(Cx+D)sinx

у*′=(Сx+А+D)cosx+(-Аx-B+C)sinx

у*″=(-Ax-B+2C)cosx+(-Cx-2A-D)sinx

Подставим полученные выражения в ЛНДУ−II

(-Ax-B+2C)cosx+(-Cx-2A-D)sinx+

+4(Аx+В)cosx+4(Cx+D)sinx =(9x-3)sinx

(3B+2C+3Ax)cosx+(-2A+3D+3Cx)sinx=

=(9x-3)sinx

у*=-2cosx+(3x-1)sinx - частное решение ЛНДУ−II.

у=С₁cos2x+С₂sin2x-2cosx+(3x-1)sinx − общее решение ЛНДУ−II

у″+2y′+10у=6е^-xсos3x

Составим ЛОДУ−II

у″+2y′+10у=0

Характеристическое уравнение:

k²+2k+10=0 имеет два различных комплексны корня

у=е^-х(С₁cos3x+С₂sin3x)- - общее решение ЛОДУ−II, где С₁=const, С₂=const.

Правая часть ЛНДУ−II имеет вид:

R(x)=е^-xсos3x, (R(x)=е^x(P₁(x)cosx+P₂(x)sinx))

=-1, =3;

Р₁(х)=6 – многочлен нулевой степени,

Р₂(х)=0 – многочлен нулевой степени,

i=-13i – являются корнями, поэтому ищем решение в виде:

у*=хе^-x(Acos3x+Bsin3x)=е^-x(Aхcos3x+Bхsin3x)

у*′=е^-x((A-Аx+3Bx)cosx+(B-3Аx-Bx)sinx)

у*″=е^-x((-2A+6B-8Аx-6Bx)cosx+(-6A-2B+6Аx-8Bx)sinx)

Подставим полученные выражения в ЛНДУ−II

е^-x((-2A+6B-8Аx-6Bx)cosx+

+(-6A-2B+6Аx-8Bx)sinx)+

+2 е^-x((A-Аx+3Bx)cosx+(B-3Аx-Bx)sinx)+

+10е^-x(Aхcos3x+Bхsin3x)=6е^-xсos3x

е^-x(6Bcos3x-6Asin3x)=6е^-xсos3x

у*=е^-xхsin3x - частное решение ЛНДУ−II.

у=е^-х(С₁cos3x+С₂sin3x)+е^-xхsin3x − общее решение ЛНДУ−II