Достаточные признаки сходимости положительных рядов
Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда: Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.
Признаки сравнения:
(сходимости) - Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство
.
Тогда если ряд
сходится, то ряд
тоже сходится;(расходимости) - Пусть даны два ряда с неотрицательными членами
и
и
для всех n
выполняется неравенство
.
Тогда если ряд
расходится, то ряд
тоже расходится.
Все теоремы сведём в таблицу:
|
Изучаемый ряд |
|
Известный ряд |
Вывод |
1 |
|
|
− и он сходится |
− сходится |
2 |
|
|
− и он сходится |
− может и сходиться, и расходиться |
3 |
|
|
− и он расходится |
−может и сходиться, и расходиться |
4 |
|
|
− и он расходится |
− расходится |
Признак Даламбера:
Пусть дан ряд с положительными членами
и
существует
.
если q<1 – ряд сходится;
если q>1 – ряд расходится;
если q=1 – ряд может и сходиться и расходиться, то есть данный признак неприменим.
Признак Коши:
Пусть дан ряд с положительными членами
и
существует
.
если q<1 – ряд сходится;
если q>1 – ряд расходится;
если q=1 – ряд может и сходиться и расходиться, то есть данный признак неприменим.
Интегральный
признак:
Пусть дан ряд
с положительными членами, являющимися
значениями некоторой функции f(x),
непрерывной и убывающей на полуинтервале
[1; +).
Тогда ряд
будет сходиться в том случае, если
сходится несобственный интеграл:
и расходиться в случае его расходимости.
Обобщённый
гармонический ряд:
:
сходится при >1;
расходится при 0<1.
Ряд |
Геометрическая прогрессия |
Обобщённый гармонический ряд |
|
|
|
Сходится |
|q|<1 |
>1 |
Расходится |
|q|1 |
0<1 |
Исследовать ряд на сходимость, используя признаки сравнения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
