4.3. Рішення задачі про призначення

Властивість. Оптимальне рішення задачі про призначення не зміниться, якщо до будь-якого рядку або стовпцю матриці вартостей відняти (або додати) постійний розмір. Дійсно, якщо з і-й рядки відняти постійну рі, із j-го стовпця - gi, те нові вартості будуть иметь вид

Тоді нова цільова функція

Тому що , те . Звідси випливає, що мінімізація вихідної цільової функції L приводить до такого ж рішенню, як і мінімізація L'.

Використовуючи приведене вище властивість, можна побудувати матрицю вартості з нульовими елементами. І якщо ці нульові елементи матриці вартостей відповідають припустимому рішенню, то таке рішення буде оптимальним, оскільки вартість не може бути негативної.

Покажемо, як реалізується цей прийом на наступному прикладі: a=||1,1,1||; b=||1,1,1||; .

У матриці с’ нульові елементи отримані вирахуванням найменшого елемента в кожному рядку з усіх елементом цього рядка:

Віднімаючи g3=2 із третього стовпця, одержуємо матрицю з виду

,

g3=2.

Квадратами в матриці з” відзначені елементи, що відповідають припустимому (а оскільки ці елементи нульові, те й оптимальному) рішенню: x11=х₂₃=х₃₂=1,

min L=c11+c23+c32=5+12+13=30. Зауважимо, що ця вартість дорівнює p1+p2+p3+g3=30.

На жаль, не завжди удасться визначити припустиме рішення настільки просто, як у приведеному прикладі. Тому вимагаються додаткові прийоми для перебування оптимального рішення. Ці прийоми проілюструємо на наступному прикладі: a=||1,1,1,1||; b=||1,1,1,1||;

.

Виконуючи ті ж нараховані кроки, що й у попередньому прикладі, маємо:

Матриця з” не дозволяє знайти припустиме рішення, що перебуває їхніх нульових елементів. Подальша процедура перебуває в проведенні мінімального числа прямих через деякі рядки і стовпці, із тим щоб усі нулі виявилися викресленими:

На наступному кроку вибирається найменший невикреслені елемент (х₃₂=1). Цей елемент відраховується їх кожного невикресленого елемента і додається до кожному елементу, що коштує на перетинанні проведений прямих. У результаті отримуємо матрицю

У матриці с’’’ відзначені елементи, що відповідають припустимому і, отже, оптимальному рішенню: х₁₁=х₂₃=х₃₂=х₄₄=1.

min L=c11+c23+c32+c44=1+10+5+5=21.

Якщо на останньому кроку оптимальне рішення не досягнуте, те процедуру проведення прямих варто повторити доти, поки не буде отримане припустиме рішення.

Як і для випадку транспортної задачі, якщо в задачі про призначення , та задачу потрібно збалансувати.

21) Угорський метод

Угорський метод є одним з найцікавіших і найпоширеніших методів рішення транспортних завдань. Основна ідея цього методу була вперше висловлена угорським математиком Е. Егерварі (звідси й назва методу) задовго до виникнення теорії лінійного програмування.

Розглянемо спочатку основні ідеї угорського методу на прикладі рішення завдання вибору (завдання про призначення), що є окремим випадком Т-задачі, а потім узагальнимо цей метод для довільної Т-задачі.

1 Постановка завдання

Припустимо, що є різні роботи і механізми, кожний з яких може виконувати будь-яку роботу, але з неоднаковою ефективністю. Продуктивність кожного i-го механізму при виконанні j-тої роботи позначимо Cij , і = 1,...,n; j = 1,...,n. Потрібно так розподілити механізми по роботах, щоб сумарний ефект від їхнього використання був максимальний. Таке завдання називається завданням вибору або завданням про призначення.Формально вона записується так. Необхідно вибрати таку послідовність елементів   з матриці

щоб сума   була максимальна й при цьому з кожного рядка й стовпця був обраний тільки один елемент.