11. Перестановочный шифр: вектор перестановки, перестановочная матрица p и ее свойства, стойкость к атаке полным перебором, примеры шифров.

Простой перестановочный шифр с фиксированным периодом n подразумевает разбиение исходного текста на блоки по n символов и использование для каждого такого блока некоторой перестановки E. Ключом такого шифра является используемая при шифровании перестановочная матрица P или вектор t, указывающий правило перестановки. Таким образом, общее число возможных ключей определяется длиной блока n и равно n!. При дешифрации используется матрица обратной перестановки D, являющаяся обратной к матрице P по умножению, то есть D*P=I, где I — единичная матрица.

Очень удачным примером шифра перестановки является шифр, использовавшийся еще во времена Древней Спарты. Ключом такого шифра была цилиндрическая палочка, а шифрование выполнялось следующим образом:

• узкая пергаментная лента наматывалась по спирали на цилиндрическую палочку;

• шифруемый текст писался на пергаментной ленте по длине палочки, после того как длина палочки оказывалась исчерпанной, она поворачивалась и текст писался далее, пока либо не заканчивался текст, либо не исписывалась вся пергаментная лента. В последнем случае использовался очередной кусок пергаментной ленты.

Расшифровка выполнялась с использованием палочки такого же диаметра.

Таким образом, длина блока n определялась длиной и диаметром палочки, а само шифрование заключалось в перестановке символов исходного текста в соответствии с длиной окружности палочки. Например, используя палочку, по длине окружности которой помещается 4 символа, а длина палочки позволяет записать 6 символов, исходный текст: «это шифр древней спарты» превратится в шифрограмму: «эфвптрнао ер дйтшр ыиес». Длина блока n = 23, а вектор t, указывающий правило перестановки, для этого шифра может быть записан следующим образом: t = {1, 7, 13, 19, 2, 8, 14, 20, 3, 9, 15, 21, 4, 10, 16, 22, 5, 11, 17, 23, 6, 12, 18}.

12. Статистические атаки на подстановочные и перестановочные шифры, частотный анализ.

Главный недостаток этого метода шифрования это то, что последние буквы алфавита (которые имеют низкие коэффициенты при частотном анализе) имеют тенденцию оставаться в конце. Более защищенный способ построить алфавит замены состоит в том, чтобы выполнить колоночное перемещение (перемещение столбцов) в алфавите, используя ключевое слово, но это не часто делается. Несмотря на то, что число возможных ключей является очень большим (26! = 2^88.4), этот вид шифра может быть легко взломанным. Согласно расстоянию уникальности английского языка, 27.6 букв от зашифрованного текста должно быть достаточно чтобы взломать шифр простой замены. На практике, обычно достаточно около 50 символов для взлома, хотя некоторые шифротексты могут быть взломаны и с меньшим количеством символов, если найдены какие-либо нестандартные структуры. Но при равномерном распределении символов в тексте может потребоваться куда более длинные шифротексты для взлома.

Частотный анализ, частотный криптоанализ — один из методов криптоанализа, основывающийся на предположении о существовании нетривиального статистического распределения отдельных символов и их последовательностей как в открытом тексте, так и в шифротексте, которое, с точностью до замены символов, будет сохраняться в процессе шифрования и дешифрования. Упрощённо, частотный анализ предполагает, что частота появления заданной буквы алфавита в достаточно длинных текстах одна и та же для разных текстов одного языка.

Утверждается, что вероятность появления отдельных букв, а также их порядок в словах и фразах естественного языка подчиняются статистическим закономерностям: например, пара стоящих рядом букв «ся» в русском языке более вероятна, чем «цы», а «оь» в русском языке не встречается вовсе (зато часто встречается, например, в чеченском). Анализируя достаточно длинный текст, зашифрованный методом замены, можно по частотам появления символов произвести обратную замену и восстановить исходный текст.

Как упоминалось выше, важными характеристиками текста являются повторяемость букв (количество различных букв в каждом языке ограничено), пар букв, то естьm (m-грамм), сочетаемость букв друг с другом, чередование гласных и согласных и некоторые другие особенности. Примечательно, что эти характеристики являются достаточно устойчивыми.

Идея состоит в подсчете чисел вхождений каждой n^m возможных m-грамм в достаточно длинных открытых текстах T=t₁t₂…t_l, составленных из букв алфавита {a₁, a₂, …, a_n}. При этом просматриваются подряд идущие m-граммы текста:

t₁t₂…t_m, t₂t₃… t_m+1, …, t_i-m+1t_l-m+2…t_l.

Если L (a_i1a_i2 … a_im) — число появлений m-граммы a_i1a_i2…a_im в тексте T, а L — общее число подсчитанных m-грамм, то при достаточно больших L частоты L (a_i1a_i2 … a_im)/ L, для данной m-граммы мало отличаются друг от друга.

В силу этого, относительную частоту считают приближением вероятности P (a_i1a_i2…a_im) появления данной m-граммы в случайно выбранном месте текста (такой подход принят при статистическом определении вероятности).

В общем смысле частоту букв в процентном выражении можно определить следующим образом: подсчитывается сколько раз она встречается в шифро-тексте, затем полученное число делится на общее число символов шифро-текста; для выражения в процентном выражении, еще умножается на 100.

Но существует некоторая разница значений частот, которая объясняется тем, что частоты существенно зависят не только от длины текста, но и от характера текста. Например, текст может быть технического содержания, где редкая буква Ф может стать довольно частой. Поэтому для надежного определения средней частоты букв желательно иметь набор различных текстов.

13. Условная собственная информация и условная энтропия, энтропия естественного языка, избыточность естественного языка. Сжатие источника и омофонический шифр как способ маскировки статистики языка.

Условная энтропия

Если следование символов алфавита не независимо (например, во французском языке после буквы «q» почти всегда следует «u», а после слова «передовик» в советских газетах обычно следовало слово «производства» или «труда»), количество информации, которую несёт последовательность таких символов (а следовательно и энтропия) очевидно меньше. Для учёта таких фактов используется условная энтропия.

Условной энтропией первого порядка (аналогично для Марковской модели первого порядка) называется энтропия для алфавита, где известны вероятности появления одной буквы после другой (то есть вероятности двухбуквенных сочетаний):

где i — это состояние, зависящее от предшествующего символа, и pi(j) — это вероятность j, при условии, что i был предыдущим символом.

Избыточность языка — статистическая величина, обозначающая избыточность информации, содержащейся в тексте на определённом языке.