16.Тапалагічныя уласцівасці і інварыянты.Паняцце аб прадмеце тапалогіі.
Няхай М- сукупнасць усіх тапалагічных прасторау. Яна разбіваецца на папарна неперасякальныя класы эквівалентнасті адносна гамеаморфнасці хваля.Кажуць, што прасторы,якія уваходяць у адін такі клас эквів. есць пр-ры аднаго тапал. тыпу. Такім чынам прасторы маюць адін і тойжа тып т. і т.т. калі яны гамеаморфны. Круг і квадрат аднаго тыпу,сфера і пав-ня тора розных тыпау.
Азн.Улас-ць пр-ры наз. яе тапалаг. улас-цю,калі яна захоуваецца пры яе гамеаморфных адлюстр.
Прыклады тапал. уласц.:
Пэуная памернасць;
2) арыентаванасць(неарыентаванасць);
3) пэуная кол-ць кампанент края;
4)звязнасць.
Не тапал. уласц-ці:
1)неабмежаванасць;
2) выпукласць;
3)пауната.
Сцв.1\дастатковая умова тапал. уласц. Пр-ры\. Калі уласц. Пр-ры можа быць сфармулявана выключна у тэрмінах адкр-х ці замк-х мн-вау, яна есць тапалаг. ул-ць гэтай пр-ры.
У многіх выпадках аказваецца магчымым паставіць ва узаемна-адназначную адпаведнасць тапал. ул-цей пр-ры лікі (аб”екты, мнагачлены, группы). Такім чынам гамеам-ным пр-рам адпавядаюць аднолькавыя знач. указанных лікау,такія лікі наз. тапалаг. інварыянтамі.
Прыклады тапалагічных інварыянтаў:
1.памернасць пр-ры,
2.колькасць кампанент звязнасці,
3. Колькасць дзірак у пр-ры,тыпу дзіркі тора,
4.кол-сць кампанент края,
5.Эйлерава хар-ка пр-ры для выпуклых мнагагранікаў,
6.графам наз.фігура F, якая складаецца з канцоўнай кол-сці дуг,канцы дуг-вяршыні графа,самі дугі-канты графа.Кол-сць дуг графа,якія выходзяць з яго пункта х наз. індэксам пункта х.Магутнасць мн-ва пунктаў графа F індэкса k ёсць яго тапалагічны інварыянт.
7.Пункт х назю разбівальным пунктам,калі пр-ра Х\{x} мае больш кускоў за пр-ру Х.
Сцв.2. Калі аб”ект, які з”яуляецца тапал. інварыянтам і вызначаны для праторау Х,У прымае розныя знач. для Х,У тады Х негамеаморфнае(не ізаморфнае).
Адваротнае не верна.
У дастаткова поунай ступені , прадмет тапалогіі, можна характарыз. так: яна вывучае тапал. уласц. і тапал. інварыянты пр-рау і іх непарыуных адлюстр., а таксама інварыянты узаемнага раз
мяшчэння прасторау.
17. Тапалагічная класіфікацыя. Поўная сістэма тапалагічных інварыянтаў. Правесці тапалагічную класіфікацыю сукупнасці тапалагічных прастораў – гэта значыць разбіць яе(сукупнасць) на папарна неперасякальныя класы прастораў, у склад кожнага з якіх уваходзяць толькі гамеаморфныя паміж сабой прасторы. Прасторы, якія ўваходзяць у розныя класы – негамеаморфныя.
Няхай
- некаторая сукупнасць тапалагічных
інварыянтаў, вызначаная для ўсіх
прастораў
.
Няхай далей выконваецца ўмова: калі для
кожных двух прастораў
сукупнасці
(
)
кожныя з інварыянтаў
прымаюць аднолькавыя значэнні для
прастораў
,
тады гэтыя прасторы гамеаморфныя. Такая
сукупнасць інварыянтаў
называецца поўнай
сістэмай тапалагічных інварыянтаў
сукупнасці
.
Указваючы
поўную сістэму тапалагічных інварыянтаў
сукупнасці тапалагічных прастораў, мы
вызначаем поўную сістэму яе тапалагічнай
класіфікацыі. Калі ўсе адпаведныя
інварыянты поўнай сістэмы тапалагічных
інварыянтаў аднолькавыя для прастораў
і
,
тады
~
.
Прыклад
1.(Класіфікацыйная
сістэма Жардана-Мёбіуса) Поўная сістэма
тапалагічных інварыянтаў сукупнасці
усіх арыентаваных замкнутых паверхняў
у прасторы
складаецца з аднаго інваряынта – рода
паверхні (род паверхні – колькасць у
ёй дзірак тыпа дзіркі тора). Тэарэма
Жардана-Мёбіуса прадстаўляе тапалагічную
класіфікацыю сукупнасці ўказаных
паверхняў: яе можна разбіць на тапалагічныя
тыпы, прасцейшымі прадстаўнікамі якіх
з’яўляюцца наступныя паверхні ( мал.1).
Прыклад
2.
(для паверхняў краю) Поўная сістэма
тапалагічных інварыянтаў сукупнасці
арыентаваных паверхняў з края у
складаецца з двух інварыянтаў – рода
і колькасці кампанентаў края. Такім
чынам, козная з указаных паверхняў
гамеаморфна сферы з
-ручкамі
і
-дзіркамі
пры адпаведных значэннях
і
.(мал.2)