11*. Замыканне мн-ва і замкнутае мн-ва. Унутраннасць мн-ва і адкрытае мн-ва.

Замыканне мн-ва. Замкнутыя мн-вы.

Ул.1. .

Ул.2. .

Ул.3. .

Ул.4. .

Сцв.1 .

Сцв.2 .

Сцв.3 .

Сцв.4

Сцв.5 .

Сцв.6 .

Т.1 Замыканне ёсць наіменьшая з замкнутых мн-ваў, якія змяшчаюць мн-ва А.

Т.2 .

Унутраннасць мн-ва. Адкрытае мн-ва.

Ул.1 .

Ул.2 .

Ул.3 .

Ул.4

Сцв.1 .

Сцв.2 .

Сцв.3 .

Сцв.4

Сцв.5 .

Сцв.6 .

Т.1 Унутраннасць IntA ёсць найбольшая з адкрытых у прасторы мн-вах, якія змяшчаюць мн-ва А.

Т.2 .

Ул.3 можна распаўсюдзіць на адвольную канцоўную колькасць мн-ваў, т.ч. аператар замыкання з’яўл. Канцоўна адытывным, а аператар унутраннасці канцоўна мультыплікатыўным. Але на бясконцую колькасць мн-ваў гэтыя уключэнні не абагульняюцца, маюць месца толькі уключэнні: .

Контрпрыклад: .

Сцв.4 наз. уласцівасцю манатоннасці адпаведных аператпраў, а Ул4 уласців. Ідэмпатентнасці.

Т1 можна перафразаваць так: замыканне найменшая з усіх замкнутых у прасторы мн-ваў, якія змяшчаюць мн-ва А. Унутраннасць IntA есць найменшае з усіх адкрытых у прасторы мн-ваў, якія змяшчаюцца ў мн-ве А.

Т2 найвышейшыя крытэгыі замкнутасці і адкрытасці у тапалагічнай прасторы.

N?^*.Характарызацыя мностваў з дапамогай тэарэтыка-мноственных раўнанняў.

(1)Адкрытыя ў прасторы (Х,τ) мн-вы характарызуюцца раўнаннем А=IntA.

(2)Замкнутыя у пр-ры (Х,τ) мн-вы характарызуюцца раўнаннем А= .

(3)Так называемыя гранічныя мн-вы характарызуюцца раўнаннем IntA= , ці што тое самае =FrA( , ).

Прыклад:Q-гранічнае мн-ва ў R¹: IntQ= ,Z-гранічнае мн-ва у R¹:IntZ= .

Заўвага: не трэба блытаць гранічныя мн-вы з мн-вамі,якія супадаюць са сваёй граніцай.

(4)Сцверджанне: Падмноства А тапалагічнай прасторы (Х,τ) з’яўляецца дасканалым у ёй калі і толькі калі яно адначасова замкнутае і не мае ізаляваных пунктаў.

Доказ(неабх.)Няхай А дасканалае ў (Х,τ), г.зн. А= .1) _x;2) .(даст.) _x ,IsolA= . 1) =A; 2) . .

(5)Так называемае дыскрэтнае мн-ва ў пр-ры характарызуецца раўнаннем А=IsolA,якое цалкам складаецца з ізаляваных пунктаў.

Прыклады:Адвольнае канцоўнае мн-ва ў R⁴,якое складаецца з Z,N.

( 6)A=Int - сукупнасць кананічна адкрытых мностваў. Кананічна адкрытае мн-ва ёсць адкрытае мн-ва.Але не ўсякае адкрытае мн-ва кананічна адкрытае.

Р азгледзім у R² А=

-= ^. , IntA=

(7)Так называемыя кананічна замкнутыя мн-вы характарызуюцца раўнаннем А= .Але не ўсякае мн-ва ёсць кананічна замкнутае мн-ва.

12^*. Усюды шчыльныя і нідзе не шчыльныя мноствы. Сепарабельныя прасторы.Падмноства А тапалагічнай пр-ры (Х,τ) наз. Усюды шчыльным у ёй, калі =Х. Падмноства А тапалагічнай прасторы (Х,τ) наз. Нідзе не шчыльным у ёй, калі Int = .

Прыклад1.Мн-вы Q і I усюды шчыльныя ў R¹, = =R.Мн-вы Z і N нідзе не шчыльныя ў R¹,таму што IntZ=Int = ., IntN=Int = .

Прыклад 2.Мн-вы Q×Q і I×I усюду шчыльныя у R²,а Z×Z, N×N нідзе не шчыльныя у R².

Прыклад 3.Калі памернасць падмноства А пр-ры (Х,τ) менш за памернасць гэтай пр-ры тады А усюды шчыльнае мн-ва у гэтай пр-ры.Так усякая крывая ў R² нідзе не шчыльнае мн-ва ў R²,так як наваколле адвольнага яе пункта-шар і не можа змяшчацца ў гэтай аднамернай крывой.

Прыклад 4.Зразумела існуюць мн-вы,якія не з’яўляюцца усюды шчыльнымі і не з’яўляюцца нідзе не шчыльнымі ў пр-ры. Напрыклад,шары В²,Д² у пр-ры R².

Тапалагічная пр-ра (Х,τ) наз. сепарабельнай,калі яна мае злічонае усюды шчыльнае падмноства А(г.зн.,што = α, =Х ).

Прыклад 5.R¹ сепарабельная пр-ра, яна мае злічонае ўсюды шчыльнае падмноства .

Прыклад 6. Пр-ра таксама сепарабельная.Яна мае ўсюды шчыльнае злічонае падмноства .

ⁿ

Прыклад7. У прасторах С[a,b]-непарыўных функцый, а таксама прастора L_p(a,b),p≥1 –інтэгравальных па модулю на [a,b] функцый у ступені р –сепарабельныя прасторы. Яны маюць усюды шчыльнае злічонае падмноства сукупнасці усіх мнагачленаў з рацыянальнымі каэфіцыентамі.

Заўвага:акрамя перелічаных найпрасцейшых тыпаў мн-ваў у пр-рах існуе велізарная колькасць іншых больш складаных. Сярод іх, напрыклад, мн-вы першай катыгорыі(худыя мн-вы, якія можна прадставіць у выглядзе злічонага аб’яднання ншдзе не шчыльных мн-ваў), мн-вы другой катэгорыі(масіўныя мн-вы, якія не з’яўляюцца мн-вамі першай катэгорыі),мн-вы тыпа ₣_σ-злічоныя аб’яднанні замкнутых мн-ваў,мн-вы G_δ-злічонае перасячэнне адкрытых мн-ваў.Усе яны з’яўляюцца Барэлеўскімі мн-вамі,якія вывучаюцца і выкарыстоуваюцца у функцыянальным аналізе.