- •2. Шары і сферы метр. Прасторы. Абмежаваныя мн-вы.
- •3.Індуцыраваная метрыка . Падпрастора метрычнай прасторы
- •5. Паняцце тапалагічнай прасторы
- •6. Замкнутыя мноствы у тапалагічнай прасторы.
- •7.Індуцыраваная тапалогія . Падпрастора тапалагічнай прасторы
- •8. Пункты дакранання і вонкавыя пункты мноства.
- •11*. Замыканне мн-ва і замкнутае мн-ва. Унутраннасць мн-ва і адкрытае мн-ва.
- •13. Непарыўныя адлюстраванні
- •14. Гамеаморфныя адлюстраванні.
- •16.Тапалагічныя уласцівасці і інварыянты.Паняцце аб прадмеце тапалогіі.
- •18.База тапалогіі.
- •20 Аксіемы аддзельнасці
- •22*. Ліміт паслядоунасці элементаў тп.
- •26 Уласцівасці звязных прастораў і мностваў.
- •30. Звязнасць і лінейная звязнасць.
- •31 И 32.Кампактныя пр-ры і мн-вы.
- •33*.Кампактнасць і замкнутасць.
- •35.Кампактныя мн-вы у эўклідавых пр-рах.
- •36.Уласцівасці камп. Пр-раў і мн-ваў.
- •37*. Прамы здабытак прастораў.
- •39. Тапалагiчныя ўласцiвасцi здабыткаў прастораў
- •40.Фактар-тапалогія, спароджанная дачыненнем эквівалентнасці.
- •41*Фактар-прасторы квадрата
22*. Ліміт паслядоунасці элементаў тп.
Азн. Лімітам бясконцай паслядоўнасці (хі), і ад 1 да ∞ хі ТП (х,τ) назыв. яе эл-т хЄХ, для любога ωα(х),αЄІ існуе NαЄN,так,што усе элементы дадзенай пасляд. э нумарамі >=NαЄ ωα(х). Калі (хі), і ад 1 ∞ мае lim х,то яна зыходзіцца да х.
Тэарэма. Любая бясконцая паслядоўнасць элементаў хаўзд.пр-ры мае не больш за адзін lim.
Д-з. Няхай Існуе (хі), і ад 1 да бясконцасці у ХП мае 2 lim, а і b, а≠b. lim хі=a,
lim хі=b, і→∞( а≠b), ω(a) перасячэнне ω(b) = пустое мноства. Па азн. ліміту усе пункты хNα, хNα+1,... Є ω(a), а хNβ, хNβ+1,... Є ω(b). Відавочна, калі N=max(Nα, Nβ)=> хN, хNz+1,... Є ω(a) перасячэнне ω(b) = пустое мноства. ?!
23*.Суадносіны паміж классамі прасторау розных тыпау аддзельнасці.
Сцв.1 Усякая Т2 прастора (хаусдорфава ) ёсць Т1 прастора.
Відавочна, калі выконваецца Т2, тады выконваецца і аксіёмы Т1.
Сцв. 2 метрычная прастора ёсць нармальная прастора(Т1+Т4)
Доказ. 1) метрычная праст. – хаусдорф., таму на па сцв.1 , яна Т1 пр-ра; 2) Няхай А,В – замк-ныя неперасяк. падмн-вы пр-ры (Х,т), тады мн-вы (aα, ) і (aβ, ) , дзе d –адлегласць паміж А і В. Відавочна, w(А) і w(В) з”яул. неперасяк. наваколлямі мн-вау А і В адпаведна.
Сцв.3. Нарманая пр-ра есць рэгулярная пр-ра (Т1+Т4Т1+Т3).
Доказ: 1) Т1 выконваецца; 2) няхай F- адвольнае замк-нае у пр-ры (Х,т) мн-ва і х належыць Х, і х не належыць F. Па аксіеме Т1:{x}⋴φx. Таму па аксіеме Т4 замк. Мн-вы F і {x} маюць неперасяк. наваколлі w(F) і w({x}) адпаведна. Таму w({x})=w(x) , значыць мае месца Т3.
Сцв.4. Рэгулярная пр-ра з”яул. хаусдорфавай (Т1+Т3=Т2).
Доказ. Няхай x,y-адвольныя пункты рэгулярнай пр-ры (Х,т). разгледзім замест Х пару: х,{y}. Па Т1 {y}⋴φx. Таму па Т3, існуюць неперасяк. наваколлі w(x) і w(y). **
Тапалаг. пр-ра наз. метрызавальнай,калі на мн-ве Х можна задаць такую метрыку р , што параджальная ею на мн-ве Х натуральная тапалогія тр супадае з пр-рай т.
Вядома , што калі існуе метрыка, якая параджае тапалогію пр-ры, такая метрыка , увогуле кажучы, не адзіная,
Азн. Метрыкі, зададзеныя на адным і тымжа мн-ве , якія параджаюць адну і туюж тапалогію на ім наз. эквів.
Прыклады.
1) Тапалаг. пр-ра R2 метрызуецца стандарт. метрыкай р, а таксама эквів. ёй метрыкамі .
дыскэтная тапалаг. пр-ра (Х,т*) метрызуецца дыскрэтнай метрыкай.
Тэарэма. \1-ая метрызацыйная тэар. Урысона\.Тапал. пр-ра са зліч-най базай з”яуляецца метрызальнай т. і т.т, калі яна з”яуляецца нармальнай.
26 Уласцівасці звязных прастораў і мностваў.
Тэарэма 1Калі Х- звязная пр-ра, а адлюстраванне f: X→Y непарыўная сюр’екцыя, тады пр-ра У есць звязная пр-ра. (Непарыўны вобраз звязнай пр-ры есць звязная пр-ра).
Доказ:
Прадпаложым працілеглае, г.зн, што У нязвязная пр-ра, тады У=V1 U V2 / V1,V2≠Ø,
V1, V2€ £x , V1∩V2=Ø. U1= fֿֿ ¹(V1) , U2=f ֿ¹ (V2), тады мае месца прадстаўленне Х=U1 U U2, акрамя таго U1 ,U2 € £x , U1 , U2 ≠ Ø, U1 ∩ U2 =Ø => X- звязная пр-ра, што супярэчыць прадпалажэнню.
Тэарэма 1’ (для мностваў)
Калі f: X→Y непарыўнае адлюстраванне пр-ры Х у пр-ру У, А- звязнае падмн-ва пр-ры Х, тады f(A)- звязнае подмн-ва пр-ры У.
Тэарэма 2.Замыканне звязнага мн-ва есць звязнае мн-ва.
Тэарэма 3.Аб’яднанне ўсякай сям’і звязных пр-раў, якія маюць прынамсе адзін агульны пункт есць звязная пр-ра.
Тэарэма 4.Няхай Х- звязнае пр-ра і f: X→R¹ - непарыўная лікавая функцыя, якая мае прынамсе адно дадатнае і адно адмоўнае значэнне. Тады існуе пункт х з Х такі, што f(x)=0.