13. Непарыўныя адлюстраванні

Няхай (x,τ_x), (y,τ_y) – тапалагічныя прасторы. Адлюстраванне f: (x,τ_x)→ (y,τ_y) назыв непарыўным, калі правобраз f^-1(B) пры гэтым адлюстр адвольнага адкрытага у пр-ры (y,τ_y) мноства B(BЄ τ_x) есць адкрыт у пр-ры (x,τ_x).

Тэарэма(крытэр непарыўнага адлюстравання): Адлюстр f: (x,τ_x)→ (y,τ_y) з’яўляецца непар тады і толькі тады, калі правобраз f^-1(D) адвольн замкнутага у пр-ры (y,τ_y) мноства D есць замкнут у пр-ры (x,τ_x) мноства.

Лема: Калі D С Y, f^-1(D)= f^-1(Y)\ f^-1(Y\D). На самай справе f^-1(Y)= f^-1(DU(Y\D))= f^-1(D)U f^-1(Y\D) улічваючы што f^-1(D) Λ f^-1(Y\D)= пустому множеству, маем саму лему.

Доказ. Неабх) Няхай f: (x,τ_x)→ (y,τ_y) непарыўнае адлюстр DЄ τ_y, тады f^-1(D)= f^-1(Y)\ f^-1(Y\D)Єφ_x.

Достат) f^-1(D) Єφ_x, для адв Dєφ_y, f^-1(B)={xЄX|f(x)ЄB}, f^-1(B)= f^-1(Y)\ f^-1(Y\B) Є τ_x => fЄC(x,y).

Заўвага 1. Не трэба лічыць, што пры непарыўных адл. Вобразы адкрытых і замкнутых мн-аў есць адпаведна адкрытыя і замкнутыя мн-вы.

Контпрыклад. f: R¹→R¹, f(x)=1/(1+x²). f(R¹)=(0,1], R¹Єτ_R¹, R¹Єφ_R¹

Заўвага 2. Аналіз азначэнняў паказвае, што паняцце непарыўнага адлюстр не есць ?трэціка? мн-ва ў тым сэнсе, што f:X→Y можа быць непарыўным і не непарыўным у залежнасці ад таго, якія тапалогіі уведзены на мн-ве X і Y.

Азначэнне: Адл. f: (x,τ_x)→ (y,τ_y) наз непарыўным у п. xЄX, калі для адвольнага ω(f(x)) пункта f(x)ЄY існуе ω^’(x) пункта x: f(ω^’(x))C(ωf(x)).

Заўвага 3. Калі X=R¹, Y=R¹, ω(f(x))=(f(x)-ε,f(x)+ε), ω^’(x)=(x-δ,x+δ) есць азнач непарыўнай у п. x лікавай ф-ай f на мове “ε,δ”

Тэарэма. Адл f: (x,τ_x)→ (y,τ_y) з’яўл непарыўным т. і т.т., калі яно непарыўнае ў адвольн пункце x, xЄX.

Сцверджанне. Кампазіцыя непар адл. f:X→Y і g:Y→Z, гэта значыць gf:X→Z, якое дзейнічае па формуле (gf)(x)=g(f(x)) з’яўляецца непарыўн., дзе x=(x,τ_x), y=(y,τ_y), z=(z,τ_z)

Прыклады. 1. Тоеснае адлюстраванне Х на Х, відавочна непарыўнае.

2. кожнае адл-не дыстрыб. пр-ры (x,τ^*) у адвольн пр-ру (y,τ_y) есць непарыўнае.

14. Гамеаморфныя адлюстраванні.

Адл-не f: (x,τ_x)→ (y,τ_y) наз гомеаморфным, калі выконваюцца адначасова 3 умовы:

1. f- біекцыя.

2. f- непарыўнае адл-не.

3. f^-1- непарыўнае адл-не.

Заўвага: Умова 3 істотная калі выконв 1 і 2, але не выкон 3.

Н-д: f:[0;2π)→R², f(t)=(cost,sint) – біекцыя, непарыўн але адв яму адл-не мае разрыў у пункце (1,0)

Калі абазваць клас усіх біекцыяў праз B(X,Y), клас усіх гомеамарф праз H(X,Y), тады відавочна H(X,Y)CC(X,Y), H(X,Y)ЄB(X,Y).

Прыклад 1. Тоеснае адл-не e:X→X, e(X)=X – відавочна есць гомеамарфізм

Прыклад 2. Пастаяннае адл-не с:X→Y, c(X)=y₀=const не есць гомеамарфізм, таму што парушаецца біекцыя.

Адл-не f: X^y→Y наз укладаннем X у Y, калі яно прыведзена г.зн. адл-не f_α:X→f(X) – есць гомеамарфізм.

Сцверджанне 1. Непар адл f:(a,b)→R¹, f=f(x) з’яўляецца укладаннем т. і т.т., калі f накладна манатонная функцыя.

Адл-не f: X→Y – наз пагружэннем X у Y, калі яно з’яўляецца укладаннем, г.зн. калі усякі пункт xЄX мае наваколле ω(х) такое, што адл-не f| _ω(х) – есць укладаннем ω(х) у Y.

Сцверджанне 2. Калі f – гомеамарфізм, тады f^-1 – таксама гомеамарфізм.

Сцверджанне 3. Кампазіцыя гомеамарфізмаў есць гомеамарфізм.

Сцверджанне 4. Вобраз адкрыт мн-ва А пры гамеаморфным адл-ні есць адкрыт мн-ва. Вобраз замкнут мн-ва А пры гамеаморфным адл-ні есць замкн мн-ва.

Заўвага. Гамеаморфнае адл-ні з’яўляюцца адначасова адкрытымі і замкнутымі.

Заўвага. Сцв 4 азначае, што гамеамарфізм f: (x,τ_x)→ (y,τ_y) устанаўлівае біекцыю паміж адкрыт у Х мн-мі і адкр у Y мн-мі.

15. Гамеаморфныя прасторы.

Тапалагічн пр-ры Х, У наз гамеаморфн., калі існуе гамеамарфізм f: X→Y. Гамеаморфн. пр-ры наз таксама тапалагічна-эквівалентнымі.

Заўвага. Наяўнае прадстаўленне аб гамеаморфных пераўтварэннях дае ўзаемнаадназначн і узаемнанепарыўн дэфармацыю гумавых рэчаў, у ходзе якой дапускаецца іх расцягванне, сціскванне, раскручванне,перасячэнне…

Тэарэма. Бінарнае дачыненне гамеамарф есць дачыненне эквівалентнасці на мн-ве М усіх тапалаг пр-раў.

Доказ.

1. X~X.

2. X~Y => Y~X.

3.X~Y,Y~Z =>X~Z.