14. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений
Линейной неоднородной системой дифференциальных уравнений называется система вида
(27)
Здесь
– известныe
функции,
– искомые функции.
Система (27) может быть записана в матричной форме
,
где
.
Теорема 6.
Пусть
– общее
решение линейной однородной системы
дифференциальных уравнений
(28)
соответствующей неоднородной системе (27) (т.е. имеющей те же коэффициенты ). Пусть – некоторое частное решение неоднородной системы (27). Тогда общее решение неоднородной системы (27) имеет вид
.
Другими
словами, если
– ФСР
однородной системы (28), а
– некоторое
частное решение неоднородной системы
(27), то общим решением системы (27) будет
где
–произвольные
постоянные.
Если известна фундаментальная система решений однородной системы (28), то общее решение неоднородной системы (27) может быть найдено методом вариации постоянных. Это означает, что общее решение системы (27) ищется в виде
где
– неизвестные функции. Подстановка
такой вектор-функции X(t) в (27) приводит
к системе
