13. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
Если
все коэффициенты
в системе (22) являются постоянными
величинами, то система (22) называется
системой с постоянными коэффициентами;
матрица
является постоянной.
Для нахождения фундаментальной системы решений однородной системы с постоянными коэффициентами решают характеристическое уравнение
. (24)
Набору
из n
корней (с учетом кратности)
уравнения (24) ставят в соответствие
определенный набор частных решений
,
составляющих ФСР системы.
А. Если – простой корень уравнения (24), то ему ставится в соответствие вектор-функция (частное решение однородной системы)
,
где
– собственный
вектор матрицы А, соответствующий
собственному значению .
Б. Если
–
простые попарно сопряженные комплексные
корни уравнения (24), то этой паре ставится
в соответствие пара функций
,
,
где,
как и прежде,
–
собственный вектор матрицы А,
соответствующий собственному значению
.
В. Если – корень кратностью r 1, то общее решение системы (22) ищется в виде
,
при
этом
находят путем подстановки этой функции
в систему (22).
Пример 24. Решить задачу Коши
x(0)=3, y(0)=1.
Решение. Матрица системы имеет вид
Решим характеристическое уравнение
– простые
корни.
Найдем собственные векторы матрицы А, соответствующие этим собственным значениям.
1) =2. Найдем собственный вектор, соответствующий .
В
качестве собственного вектора можно
взять
,
следовательно,
будет частным решением однородной
системы.
2)
.
Это собственное значение приводит к
системе
Вектор
является собственным вектором, отвечающим
собственному значению
.
В качестве второго элемента ФСР однородной
системы можно взять
.
Общее решение однородной системы имеет вид
,
где
–
произвольные постоянные, иначе говоря,
общим решением однородной системы
является
Для нахождения коэффициентов воспользуемся начальными условиями:
отсюда
находим
.
Таким образом, решением задачи Коши
является
Пример 25. Решить систему дифференциальных уравнений
Решение. Матрица этой линейной однородной системы с постоянными коэффициентами имеет вид
Найдем собственные значения этой матрицы:
–
двукратный
корень этого характеристического
уравнения.
Общее решение системы уравнений будем искать в виде вектор- функции
,
или
(25)
Тогда
Подставим
эти функции x(t),
y(t)
в исходную систему дифференциальных
уравнений; после сокращения на
получим следующую систему уравнений:
или
Приравняв
выражения в скобках к нулю, придем к
системе линейных однородных уравнений
с неизвестными
.
(26)
Решим
эту систему методом Гаусса, расположив
неизвестные
по порядку
:
Получим, что система (26) равносильна следующей системе из двух уравнений:
Объявим
неизвестные
и
свободными и положим
.
Тогда решение системы (25) запишем в виде
Подставим эти значения в (25), получим решение исходной системы дифференциальных уравнений в виде
Пример 26. Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений
x(0)=1, y(0)=0.
Решение. Сначала найдем общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений. Матрицей системы является
Характеристическое уравнение имеет вид
; 
.
Корнями
этого уравнения являются
Найдем собственный вектор, соответствующий
собственному значению
:
Ранг матрицы этой системы равен единице, и она равносильна уравнению
.
Положим
,
тогда
.
Вектор
является собственным вектором матрицы
А, отвечающим собственному значению
.
Имеем
Отсюда находим пару вещественных решений системы дифференциальных уравнений, образующих ФСР:
,
.
Общее решение нашей системы имеет вид
или
Перейдем
к решению задачи Коши. Для нахождения
коэффициентов
и
воспользуемся начальными условиями:
Поэтому решением нашей задачи является система
