62.Законы Кирхгофа

В теории цепей различают два типа задач: задачи анализа и —-синтеза электрических цепей. К задаче анализа относятся все задачи, связанные с определением токов, напряжений или мощностей в элементах цепи, конфигурация и параметры которой известны. В задачах синтеза, напротив — известны токи и напряжения в от­дельных элементах и требуется определить вид цепи и ее па­раметры, т. е. синтез является обратной задачей по отношению к анализу. Следует отметить что задача синтеза существенно слож­нее задачи анализа и будет рассмотрена в гл. 16.

В основе методов анализа электрических цепей лежат законы Кирхгофа.

Первый закон — закон токов Кирхгофа (ЗТК) формулируется по отношению к узлам электрической цепи и отражает тот факт, что в узлах не могут накапливаться заряды. Он гласит: алгебраи­ческая сумма токов ветвей, сходящихся в любом узле злектрической цепи, равна нулю. Формально это записывается так:

где т — число ветвей, сходящихся в узле. .

В уравнении (1Л6) токи, одинаково ориентированные относи­тельно узла, имеют одинаковые знаки. Условимся знаки выходя­щих токов считать положительными, а входящих — отрицательны­ми. Тогда, например, для узла $\ схемы, изображенной на рис. 1.11, а согласно ЗТК — ц + ia ^ф *3 '*' 0. Число независимых уравнений, составляемых по ЗТК» равно числу независимых узлов электрической цепи и определяется уравнением (1.14).

Закон токов справедлив и по отношению к сечениям электри­ческой цепи. Покажем это на примере сечения 5з (рис. 1.13, в). Запишем ЗТК для узлов / и 2:

Сложив между собой эти уравнения, получим ЗТК для сечения S3:

Второй закон - закон напряжении Кирхгофа (ЗНК) формули­руется по отношению к контурам и гласит: алгебраическая суЩа напряжений ветвей в любом контуре равна нулю:

где я — число ветвей, входящих в контур.

В уравнении (1.17) напряжения, совпадающие с направлением обхода контура» записываются со знаком «+», а не совпадающие — со знаком «—>.

Составим, например, уравнение по ЗНК для цепи, изображен­ной на рис. 1.11, а. В соответствии с направлением для контура I: —и_т + щ + U2¹ + U2^U = 0 для контура II: —uj —uf + из + щ + иь — = 0; для контура III: — м₄ + «5 = 0.

Общее число линейно-независимых уравнений, составляемых по ЗНК, определяется числом независимых контуров, равных числу хорд (см. (1.15)).

Уравнение ЗТК и ЗНК можно записать в матричной форме, ис­пользуя редуцированную структурную матрицу ао и контурную матрицу В.

гдеТ—знак транспонирования;

З акон токов получается путем перемножения матрицы ао на матрицу-столбец токов ветвей:

Закон токов можно записать и через матрицу главных сечений

Умножив контурную матрицу В на матрицу-столбец напряже­ния ветвей U_B = \u\ui... и_п II получим ЗНК в матричной форме:

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ TEОРИИ ЦЕПЕЙ

Любую электрическую цепь можно рассматривать как систему с одним или несколькими входами и одних шли несколькими выхо­дами (рис. 1.37). Если к входам цепи приложить внешнее воздейст­вие х(0={^ДО» x₂(t),..., *„(/)}, то на выходах можно обнаружить реакцию или отклик $(/)=£$!(/), J₂(0» ••-» ³**(0}> ^ГД^С N* М— число входов и выходов. В зависимости отисходных данных и конечной цели исследования в теории цепей различают две группы задач: задачи анализа и задачи синтеза.

Задача анализа цепи состоит в определении реакции цепи s (t) на заданное внешнее воздействие x(t).

Задача синтеза цепи заключается в нахождении цепи по заданной реакции цепи s(t) на некоторое внешнее воздействие x(t).

Исходными данными в задаче анализа являются схема замеще­ния цепи с параметрами всех входящих в нее элементов и описание внешнего воздействия х(/), задаваемого в виде совокупности токов и напряжений идеальных неуправляемые источников тока и напря­жения, соответственно. В результате анализа определяется отклик s(t) в виде совокупности токов и напряженна всех или некоторых ветвей цепи. В частном случае задача анализа может сводиться к нахождению соотношений между реакциями цепи на отдельных выходах Sj (*) и воздействиями *,(/), приложенными к определенным входам. Такие соотношения называются характеристиками (систем­ным! функциями, функциями) неон. В зависимости от того, какая величина ...-*— частота или время—является аргументом в выраже­ниях, описывающих соотношения между откликом и внешним воз­действием, различают частотные и временные характеристики цепи.

Определение и исследование часто­тных характеристик представляют со­бой задачу анализа цепи € частотной области; нахождение временных ха­рактеристик —задачу анализа цепи по временной области.

Исходными данными в задаче син­теза являются описания внешнего воздействия на. цепь *(/) и ее отклика s(t). В результате синтеза необходимо одре делить схему замещения цепи

и параметры всех входящих в нее элементов. В частном случае задача синтеза может сводиться к нахождению цепи, обеспечива­ющей заданные соотношения между внешним воздействием на цепь *,(/) и ее реакцией J//), т. е. к расчету цепи по ее характеристикам. Анализ и синтез электрических цепей в определенной степени взаимосвязаны, в частности методы синтеза базируются на исполь­зовании общих свойств характеристик различных классов цепей, которые изучаются в процессе анализа. Поэтому изложению мето­дов синтеза цепей будет предшествовать рассмотрение общих мето­дов анализа цепей и знакомство с характеристиками некоторых классов цепей при различных внешних воздействиях.