Определение

1. СЛАУ (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае она называется несовместной.

2. Совместная СЛАУ называется определенной, если она имеет единственное решение.

3. Совместная СЛАУ называется неопределенной, если она имеет бесконечно много решений.

4. Система (1) называется однородной, если все правые части этой системы равны нулю.

5. Система (1) называется неоднородной, если правые части этой системы равны 0.

Ясно, что однородная СЛАУ всегда имеет нулевое решение. Это означает, что однородная система всегда совместна, но может быть неопределенной.

Матричная форма записи системы линейных алгебраических уравнений

Введем следующие матрицы связанные с системой (1)

А= А ϵ M_mxn (|R) - основная матрица СЛАУ

Х= nx1 – столбец неизвестных

В₀₌ mx1 – свободные коэффициенты

А’ ϵ M_mxn (|R) – расширенная матрица

Расширенную матрицу системы можно рассматривать как сокращенную запись системы (1)

Перемножим матрицы АхХ

АХ= = =B₀

AX=B₀ (2) матричная запись системы (1)

Решение квадратных слау с обратимой основной матрицей.

ТЕОРЕМА: Пусть СЛАУ (1) квадратная и А=GMn(|R) (обратимая), тогда СЛАУ (1) является определенной и решение этой системы может быть найдено по формуле: Х=А^-1В₀ (3)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Покажем, что (3) является решением системы (1) для этого достаточно проверить что оно удовлетворяет уравнению (2).

А(А^-1В₀)=В₀

(АА^-1)В₀=В₀

EnB₀=B₀

B₀=B₀

Покажем что (3) является единственным решением системы (1). Пусть на ряду с решением (3) системы (1) или (2) имеет еще одно решение, тогда имеют место равенства:

АХ=В₀

АY=B₀

Вычитая из первого равенства второе получичим: АХ-АY=0; в силу свойств получим А(X-Y)=0

A^-1A(X-Y)=A^-10

En(X-Y)=0

X-Y=0

X=Y

Ч.т.д.

ЗАМЕЧАНИЕ: Формулой 3 удобно пользоваться в тех случаях, когда рассматриваются несколько систем, отличающихся правыми частями.

Исследование слау

Назовем две системы СЛАУ равносильными (эквивалентными), если:

1)Имеют одинаковое число неизвестных

2)множество решений этих систем совпадают

Определение:

Каждое преобразование СЛАУ приводящее к равносильной (эквивалентной) системе называется равносильным (эквивалентным) преобразованием этой системы.

Нетрудно проверить, что равносильными являются следующие преобразования систем:

1. Изменение порядка следования уравнения системы Y_k (↗↖) Y_j

2. Замена любого из уравнения системы этим же уровнем, умноженным на число, отмеченное от нуля λY_k, λ≠0

3. Замена любого уравнения системы суммой этого уравнения и любого другого уравнения Y_k+Y_j

4. Замена любого уравнения системы суммой этого уравнения и любого другого уравнения умноженного на произвольное число. Y_k+λY_j

Отметим, что перечисленные преобразования соответствуют элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы.

Опеределение:

Уравнение системы (1) с номером k называется приведенным, если в нем с коэффициентом 1 содержится некоторое неизвестное Х_j которого нет в других уравнениях системы.

Система (1) называется приведенной, если приведено, каждое уравнение.

Отметим, что приведенная система проста и может быть исследована непосредственно.

Метод Гаусса

Метод Гаусса состоит в получении приведенной системы равносильной исходной; процедура приведения осуществляется поэтапно, построчно, при помощи преобразований 1-4

ЗАМЕЧАНИЯ:

1. Метод Гаусса называют методом исключения

2. Реализация метода Гаусса есть процедура приведения расширенной матрицы системы при помощи преобразования строк