- •Основные понятия и теоремы теории вер-тей
- •1.Что изучает теория вер-тей
- •2.Что наз. Событием? Какие события достоверными, невозможными, случайными
- •6. Какие события называются единственно возможными. Приведите примеры
- •7. Какое множество событий образует полную группу событий? Приведите пример. Чему равняется сумма вер-тей событий, образующих группу?
- •8. Сформулируйте классическое определение вероятности. Приведите пример.
- •9. Какие события наз. Достоверными и невозможными. Какими могут быть вероятности достоверного и невозможного события. Примеры
- •10. Формула, по которой вычисляется вер-ть.Может ли быть вер-ть больше 1.Бывает ли вер-ть отрицательной.
- •11. Статическое определение вероятности
- •12. Что называют статистической устойчивостью событий. Прибли-жается ли относ. Частота событий к его вероятности при увеличении числа испытаний? Почему? Пример.
- •14. Определеие произведения событий. Что обозначает а*в, если а иВ совместимые.
- •17. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для совместных событий.
- •18. Какие события называют независимыми. Дайте определение независимых в совокуности событий.
- •19. Что называют условной вероятностью события. Приведите примеры.
- •20.Теорема умножени вероятностей для зависимых событий
- •21.Теорема умножени вероятностей для независимых событий
- •22. Чему равна вероятность появления в результате испытаний хотя бы одного из независимых в совокупности событий
- •23. Запишите формулу полной вер-ти.Какое свойство должны иметь гипотезы в формуле полной вероятности.
- •24. Запишит формулу Бейеса. Какое ее предназначение?
- •Повторение независимых испытаний
- •25. Запишите формлу Бернулли. Какое ее предназначение?
- •26. Как находят наивероятнейшее число наступления событий?
- •27. Локальная теорема Муавра-Лапласа в каких случаях ее применяют.
- •28. Перечислите свойства функции Лапласа φ(х).
- •29 В чем заключаеся интегралная теорема Муавра – Лапласа. В каких случаях ее применяют.
- •30. Перечислите свойства функции Лапласа ф(х).
- •31. Сформулируйте теорему Пуассона. Как найти параметр λ?
- •Случайные величины
- •32. Опрделение сучайной величиы. Примеры непрерывных и дискретных случайных величин.
- •33. Закон распределения дискретной случайной величины.
- •34. Ряд распределения. Определение многоугольника распределения.
- •35. Какая функция наз. Интегральным законом распред-я случ. Величины. Сформул-те свойства этой функии.
- •36. Какая функция наз. Дифференциальной функцией распред-я случ. Величины. Сформул-те свойства этой функии.
- •37. Определение матемтического ожидания дискретной и непрерывной случ величины.
- •38. Свойства математического ожидания.
- •39. Определение дисперсии и среднего квадрат-го отклонения дискретной и непрерывной случ. Величины.
- •40. Сформулируйте св-ва дисперсии.
- •41 Определение начального и центрального моментов k-го порядка. Каковы простейшие соотношения между ними.
- •42.Определение моды и медианы.
- •43. Какой закон распределения называют биномиальным.
- •44. Какой формулой определяется закон распределения Пуассона?
- •45. Какой формулой определяется равномерный закон распределения. Запишите формулу функции распределения для равномерного закона распределения и постройте ее график.
- •46. Какой дифференциальной функцией распределения случ. Величины определяется нормальный закон распределения. Объясните содержание параметров, кот. Входят в выражение этой функции.
- •47. Как влияют математичекое ожидание и дисперсия на форму нормальной кривой.
- •48. Формула для вычисления вер-ти того, что случайная величина кот. Подлежит норм. Закону распред., принимает значения из интервала (a, b)
- •49. Сформулируйте првило трех сигм.
- •Системы случайных величин
- •50.Определение понятия системы случайных величин.
- •51. Закон распределения и функция распределения двух случ величин.
- •53. Закон распределения отдельной сл. Величины, кот. Входит в систему. Условный закон распределения
- •54. Численные характеристики системы двух случайных величин. Математ. Ожидание и дисперсия.
- •55. Численные характеристики системы двух случайных величин. Кореляционный момент. Коэффициент корреляции.
- •Граничные теоремы теории вероятностей
- •56.Нервенство Чебышева и ее смысл.
- •57. Теорема Чебышева и ее смысл.
- •58. Теорема Бернулли и ее смысл.
- •59. Центральная предельная теорема теории вероятностей для одинаково распределенных случайных величин. Формулировка и смысл.
- •Основні поняття математичної статистики
- •Предмет математичної статистики. Що називається статистичною сукупністю?
- •Визначення генеральної й вибіркової сукупностей. Наведіть приклади.
- •Який статистичний метод називається вибірковим методом?
- •Що розуміється під репрезентативністю вибіркової сукупності? Помилки репрезентативності і їхні види.
- •Що таке емпірична функція розподілу?
- •Які числові характеристики відображають центральну тенденцію? Середня арифметична і її властивості.
- •Які числові характеристики відображають мінливість? Поняття коефіцієнта варіації.
- •Які числові характеристики відображають мінливість? Дисперсія і її властивості.
- •Запишіть формули, за якими обчислюються середня арифметична, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, асиметрія й ексцес.
- •Перевірка статистичних гіпотез
- •3. Теорія статистичної оцінки
- •Яка величина розуміється під статистичною оцінкою параметра ?
- •Які оцінки називаються незміщеними, зміщеними? Наведіть приклади.
- •Які оцінки називаються незміщеними, зміщеними? Наведіть приклади. Чи є вибіркова дисперсія незміщеною оцінкою генеральної дисперсії ? Який дріб називають поправкою Бесселя?
- •Яка оцінка називається ефективною? Яка оцінка називається спроможною?
- •Що називається довірчим інтервалом або інтервальною оцінкою параметра ? Що визначає довірча ймовірність ?
- •Запишіть довірчий інтервал для генеральної середньої якщо відомо величину .
- •Випадкові процеси
- •1.Определение случайного процесса. Примеры случайных процессов.
- •2.Поняття перерізу випадкового процесу. Приклади, смисл. Представлення випадкового процесу за допомогою перерізів.
- •3. Поняття реалізації випадкового процесу. Сімейство реалізацій. Приклади.
- •4. Поняття математичного сподівання випадкового процесу.
- •5. Поняття дисперсії випадкового процесу.
- •6. Класифікація випадкових процесів за часом. Класифікація випадкових процесів за станами.
28. Перечислите свойства функции Лапласа φ(х).
1. Функция является четной, т.е.
φ(-х)= φ(х).
2. Функция φ(х) - монотонно убывающая при положительных значениях х, причем при х → ∞ φ(х) → 0.
(Практически можно считать, что уже при х > 4 φ(х)≈ 0.
3.
29 В чем заключаеся интегралная теорема Муавра – Лапласа. В каких случаях ее применяют.
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до b (включительно), при достаточно большом числе n приближенно равна
,
Где - функция (или интеграл вероятностей) Лапласа;
, .
Формула называется интегральной формулой МуавраЛапласа. Чем больше n, тем точнее эта формула. При выполнении условия npq ≥ 20 интегральная формула , так же как и локальная, дает, как правило, удовлетворительную для практики погрешность вычисления вероятностей. Функция табулирована
30. Перечислите свойства функции Лапласа ф(х).
1)Нечётность Ф(-х)=-Ф(х);
2)Монотонно возрастающая Ф(х);
3)limФ(х)=1 {где х+}; limФ(x)=-1 {где х-}. На практике: если х5, полагаем что Ф(х)1 График у=Ф(х) в пределах от –1 до 1.
Следствие из интегральной теоремы Муавра Лапласа.
Пусть выполнили условие применимости интегральной теоремы М.Лапласа, тогда:
1)Вер-ть того, что число m наступлений события А в n испытаниях отличается от величины np не более, чем на эпсило (E) (по абсолютной величине) вычисл. По след. ф-ле:
2)Вер-ть того что частость (доля) m/n наступлений событий А в n испытаниях отличается от вер-ти р не более чем на (по абсолютной величине) вычисл. По след. ф-ле:
31. Сформулируйте теорему Пуассона. Как найти параметр λ?
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании стремится к нулю (р → 0) при неограниченном увеличении числа n испытаний (n → 0), причем произведение nр стремится к постоянному числу λ(nр → λ), то вероятность Рm,n того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству:
Т.е. условие теоремы Пуассона р → 0 при n → ∞, так что nр → λ, противоречит исходной предпосылке схемы испытаний Бернулли, согласно которой вероятность наступления события в каждом испытании р = const. Однако, если вероятность р - постоянна и мала, число испытаний n - велико и число λ = nр - незначительно (будем полагать, что λ = np ≤ 10), то из предельного равенства
вытекает приближенная формула Пуассона:
. Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).
В качестве оценки неизвестного параметра λ по n наблюдённым значениям независимых случайных величин А1,..., Аn используется их арифметическое среднее А = (А1 +... + Аn)/n, поскольку эта оценка лишена систсматической ошибки и её квадратичное отклонение минимально. (λ — положительный параметр)
Случайные величины
32. Опрделение сучайной величиы. Примеры непрерывных и дискретных случайных величин.
Опр.: Случайной величиной называется переменная, кот. в рез-те испытания принимает то или иное числовое значение. Опр. Случайная величина назыв. дискретной, если число её возможных значений конечно или счётно (множество счетное, если его можно перенумеровать натур.альными .
числами). Опред.: Случ. величина назыв. непрерывной, если её значение полностью заполняют некоторый интервал. Пр1)число попаданий в мишень, (количество учеников в классе дискретная случ. величина; Пр2) рост человека, рост дереванепрерывная случ. величина.;