![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Основные понятия и теоремы теории вер-тей
- •1.Что изучает теория вер-тей
- •2.Что наз. Событием? Какие события достоверными, невозможными, случайными
- •6. Какие события называются единственно возможными. Приведите примеры
- •7. Какое множество событий образует полную группу событий? Приведите пример. Чему равняется сумма вер-тей событий, образующих группу?
- •8. Сформулируйте классическое определение вероятности. Приведите пример.
- •9. Какие события наз. Достоверными и невозможными. Какими могут быть вероятности достоверного и невозможного события. Примеры
- •10. Формула, по которой вычисляется вер-ть.Может ли быть вер-ть больше 1.Бывает ли вер-ть отрицательной.
- •11. Статическое определение вероятности
- •12. Что называют статистической устойчивостью событий. Прибли-жается ли относ. Частота событий к его вероятности при увеличении числа испытаний? Почему? Пример.
- •14. Определеие произведения событий. Что обозначает а*в, если а иВ совместимые.
- •17. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для совместных событий.
- •18. Какие события называют независимыми. Дайте определение независимых в совокуности событий.
- •19. Что называют условной вероятностью события. Приведите примеры.
- •20.Теорема умножени вероятностей для зависимых событий
- •21.Теорема умножени вероятностей для независимых событий
- •22. Чему равна вероятность появления в результате испытаний хотя бы одного из независимых в совокупности событий
- •23. Запишите формулу полной вер-ти.Какое свойство должны иметь гипотезы в формуле полной вероятности.
- •24. Запишит формулу Бейеса. Какое ее предназначение?
- •Повторение независимых испытаний
- •25. Запишите формлу Бернулли. Какое ее предназначение?
- •26. Как находят наивероятнейшее число наступления событий?
- •27. Локальная теорема Муавра-Лапласа в каких случаях ее применяют.
- •28. Перечислите свойства функции Лапласа φ(х).
- •29 В чем заключаеся интегралная теорема Муавра – Лапласа. В каких случаях ее применяют.
- •30. Перечислите свойства функции Лапласа ф(х).
- •31. Сформулируйте теорему Пуассона. Как найти параметр λ?
- •Случайные величины
- •32. Опрделение сучайной величиы. Примеры непрерывных и дискретных случайных величин.
- •33. Закон распределения дискретной случайной величины.
- •34. Ряд распределения. Определение многоугольника распределения.
- •35. Какая функция наз. Интегральным законом распред-я случ. Величины. Сформул-те свойства этой функии.
- •36. Какая функция наз. Дифференциальной функцией распред-я случ. Величины. Сформул-те свойства этой функии.
- •37. Определение матемтического ожидания дискретной и непрерывной случ величины.
- •38. Свойства математического ожидания.
- •39. Определение дисперсии и среднего квадрат-го отклонения дискретной и непрерывной случ. Величины.
- •40. Сформулируйте св-ва дисперсии.
- •41 Определение начального и центрального моментов k-го порядка. Каковы простейшие соотношения между ними.
- •42.Определение моды и медианы.
- •43. Какой закон распределения называют биномиальным.
- •44. Какой формулой определяется закон распределения Пуассона?
- •45. Какой формулой определяется равномерный закон распределения. Запишите формулу функции распределения для равномерного закона распределения и постройте ее график.
- •46. Какой дифференциальной функцией распределения случ. Величины определяется нормальный закон распределения. Объясните содержание параметров, кот. Входят в выражение этой функции.
- •47. Как влияют математичекое ожидание и дисперсия на форму нормальной кривой.
- •48. Формула для вычисления вер-ти того, что случайная величина кот. Подлежит норм. Закону распред., принимает значения из интервала (a, b)
- •49. Сформулируйте првило трех сигм.
- •Системы случайных величин
- •50.Определение понятия системы случайных величин.
- •51. Закон распределения и функция распределения двух случ величин.
- •53. Закон распределения отдельной сл. Величины, кот. Входит в систему. Условный закон распределения
- •54. Численные характеристики системы двух случайных величин. Математ. Ожидание и дисперсия.
- •55. Численные характеристики системы двух случайных величин. Кореляционный момент. Коэффициент корреляции.
- •Граничные теоремы теории вероятностей
- •56.Нервенство Чебышева и ее смысл.
- •57. Теорема Чебышева и ее смысл.
- •58. Теорема Бернулли и ее смысл.
- •59. Центральная предельная теорема теории вероятностей для одинаково распределенных случайных величин. Формулировка и смысл.
- •Основні поняття математичної статистики
- •Предмет математичної статистики. Що називається статистичною сукупністю?
- •Визначення генеральної й вибіркової сукупностей. Наведіть приклади.
- •Який статистичний метод називається вибірковим методом?
- •Що розуміється під репрезентативністю вибіркової сукупності? Помилки репрезентативності і їхні види.
- •Що таке емпірична функція розподілу?
- •Які числові характеристики відображають центральну тенденцію? Середня арифметична і її властивості.
- •Які числові характеристики відображають мінливість? Поняття коефіцієнта варіації.
- •Які числові характеристики відображають мінливість? Дисперсія і її властивості.
- •Запишіть формули, за якими обчислюються середня арифметична, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, асиметрія й ексцес.
- •Перевірка статистичних гіпотез
- •3. Теорія статистичної оцінки
- •Яка величина розуміється під статистичною оцінкою параметра ?
- •Які оцінки називаються незміщеними, зміщеними? Наведіть приклади.
- •Які оцінки називаються незміщеними, зміщеними? Наведіть приклади. Чи є вибіркова дисперсія незміщеною оцінкою генеральної дисперсії ? Який дріб називають поправкою Бесселя?
- •Яка оцінка називається ефективною? Яка оцінка називається спроможною?
- •Що називається довірчим інтервалом або інтервальною оцінкою параметра ? Що визначає довірча ймовірність ?
- •Запишіть довірчий інтервал для генеральної середньої якщо відомо величину .
- •Випадкові процеси
- •1.Определение случайного процесса. Примеры случайных процессов.
- •2.Поняття перерізу випадкового процесу. Приклади, смисл. Представлення випадкового процесу за допомогою перерізів.
- •3. Поняття реалізації випадкового процесу. Сімейство реалізацій. Приклади.
- •4. Поняття математичного сподівання випадкового процесу.
- •5. Поняття дисперсії випадкового процесу.
- •6. Класифікація випадкових процесів за часом. Класифікація випадкових процесів за станами.
Повторение независимых испытаний
25. Запишите формлу Бернулли. Какое ее предназначение?
Теорема.
Если вероятность р наступления соб. А
в каждом испытании постоянна, то
вероятность Рm,n того, что соб. А наступит
m раз
в n независимых испытаниях, равна
, q=1-p. Док-во: Пусть Ai и Āi - соответственно
появление и непоявление соб. А в i-м
испытании (i=1,2…n), а Bm – соб-е, состоящее
в том, что в n независимых испытаниях
соб. А появилось m раз. Представим событие
Вm через элементарные события Ai. Наприм
n=3, m=2: В2=А1А2Ā+А1ĀА3+ ĀА2А3. В общем виде:
Bm=А1А2…AmĀm+1+A1Ā2A3…Ān-1An+…+Ā1Ā2… Ān-mĀn-m+1,
т.е. кажд вариант появл-я соб. Вm состоит
из m появлений соб. А и n-m соб. Ā с разн
индексами. Число всех комбинаций = числу
способов выбора из n испытаний m, в котор
соб-е А произошло, т.е. числу сочетаний
. Вер-сть каждой такой комбинации (кажд
варианта появл-я соб. Вm) по теор умножения
для независ-х соб-й =pmqn-m,
т.к. р(Аi)=p, p(Āi)=q, q=1,2…n. В связи с тем, что
комбинации между собой несовместны, по
теор сложения вероятностей получим:
Pm,n=(P(Bm)=pmqn-m+…+
pmqn-m)
–складываем раз = pmqn-m.
При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.
Примеры повторных испытаний:
1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;
2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой
26. Как находят наивероятнейшее число наступления событий?
Биномиальное
распределение (распределение по схеме
Бернулли) позволяет, в частности,
установить, какое число появлений
события А наиболее
вероятно. Формула для наиболее
вероятного числа успехов
(появлений
события) имеет вид:
Так
как
,
то эти границы отличаются на 1. Поэтому
,
являющееся целым числом, может принимать
либо одно значение, когда
целое
число (
)
, то есть когда
(а
отсюда и
)
нецелое число, либо два значения,
когда
целое
число.
Пример. При автоматической наводке орудия вероятность попадания по быстро движущейся цели равна 0,9. Найти наивероятнейшее число попаданий при 50 выстрелах.
Решение. Здесь
.
Поэтому имеем неравенства:
Следовательно,
.
Неравенства для наивероятнейшего числа успехов позволяют решить и обратную задачу: по данному и известному значению р определить общее число n всех испытаний.
27. Локальная теорема Муавра-Лапласа в каких случаях ее применяют.
Аналогом
ф Бернулли является локальная ф
Муавра-Лапласа, она асимптотическая
(ф-ла, точность кот при оценке расм-го
параметра возрастает с увеличением
аргумента). Локальная
теорема Муавра – Лапласа
Вероятность
того, что в n
независимых испытаниях, в каждом из
которых вероятность появления события
равна р (0<p<1),
событие наступит ровно m
раз, приближенно равна (тем точнее, чем
больше n).
,
где Р-вер-ть
осущ-я события в отдельном испытании,
q
-
вер-ть неосущ-я события в отдельном
испытании, n
–
кол-во испытаний,
,
m
– кол-во испытаний, в кот данное событие
имеет место.
ф-я
явл-ся
табличной функцией, наз. Функцией Гаусса.
Использование таблиц предполагает
правила: 1.
;
2.
- убывающая; 3.Четность
;
4.Для
всех х>5
.
Используется когда n испытаний велико, а вероятноть р близка к 0 (р≠0; р≠1).