38. Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной величины равно са­ мой постоянной: .

□ Постоянную величину С можно рассматривать как величину, принимающую значение С с вероятностью 1. Поэтому М(С) = С·1 = 1.■

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. M(kX) = kM(X).

□ Так как случайная величина kX принимает значения kxi (i = 1,2,...,n), то

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.e. М (Х ± У) = М(Х) ± М(У).

□ В соответствии с определением суммы и разности случайных величин Х+У (Х-У) представляют случайную величину, которая принимает значения xi+yj (xi-yj) (i = 1,2,...,n) (j = 1,2,...,m) с вероятностями рij = Р[(Х = хi)(У = yj)].

Поэтому .

Так как в первой двойной сумме xi не зависит от индекса j, по которому ведется суммирование во второй сумме, и аналогично во второй двойной сумме yj не зависит от индекса i, то

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(ХУ) = М(Х)М(У).

□ В соответствии с определением произведения случайных величин, ХУ представляет собой случайную величину, которая принимает значения xiyi (i = 1,2,...,n) (j = 1,2,...,m) с вероятностями Рij = P[(Х = хi)(У = yj)], причем в силу независимости Х и У pij = pipj. Поэтому

5. Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличится (уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины: М(Х ± С) = М(Х) ± С.

□Учитывая свойства 3 и 1 математического ожидания, получим М(Х ± С) = М(Х) ± М(С) = М(Х) ± С.■

6. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю: М[Х-М(Х)] =0.

□ Пусть постоянная С есть математическое ожидание а = М(Х), т.е. С = а. Тогда, используя свойство 5, получим

М(Х - а) = М(Х) - а = а - а = о. ■

39. Определение дисперсии и среднего квадрат-го отклонения дискретной и непрерывной случ. Величины.

Дисперсией D(Х) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

или , где

Доказательство. С учетом того, что мат ожид М(Х) и квадрат мат-го ожид М2(Х) – величины постоянные, можно записать: 

D(X)=M[X-M(X)]²=M[X²-2XM(X) +M²(X)]=M(X²)]-2M(X)M(X)+

+M²(X)=M(X²)-M²(X)

В качестве характеристики рассеяния нельзя брать математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания , ибо согласно свойству 6 математического ожидания эта величина равна нулю для любой случайной величины.

Выбор дисперсии, определяемой по формуле, в качестве характеристики рассеяния значений случайной величины Х оправдывается также тем, что, как можно показать, математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от постоянной величины С минимально именно тогда, когда эта постоянная С равна математическому ожиданию , т.е. Если случайная величина Х - дискретная с конечным числом значений, то (3.11).

Если случайная величина Х - дискретная с бесконечным, но счетным множеством значений, то (если ряд в правой части равенства сходится).

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения. .

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула: .