- •Основные понятия и теоремы теории вер-тей
- •1.Что изучает теория вер-тей
- •2.Что наз. Событием? Какие события достоверными, невозможными, случайными
- •6. Какие события называются единственно возможными. Приведите примеры
- •7. Какое множество событий образует полную группу событий? Приведите пример. Чему равняется сумма вер-тей событий, образующих группу?
- •8. Сформулируйте классическое определение вероятности. Приведите пример.
- •9. Какие события наз. Достоверными и невозможными. Какими могут быть вероятности достоверного и невозможного события. Примеры
- •10. Формула, по которой вычисляется вер-ть.Может ли быть вер-ть больше 1.Бывает ли вер-ть отрицательной.
- •11. Статическое определение вероятности
- •12. Что называют статистической устойчивостью событий. Прибли-жается ли относ. Частота событий к его вероятности при увеличении числа испытаний? Почему? Пример.
- •14. Определеие произведения событий. Что обозначает а*в, если а иВ совместимые.
- •17. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для совместных событий.
- •18. Какие события называют независимыми. Дайте определение независимых в совокуности событий.
- •19. Что называют условной вероятностью события. Приведите примеры.
- •20.Теорема умножени вероятностей для зависимых событий
- •21.Теорема умножени вероятностей для независимых событий
- •22. Чему равна вероятность появления в результате испытаний хотя бы одного из независимых в совокупности событий
- •23. Запишите формулу полной вер-ти.Какое свойство должны иметь гипотезы в формуле полной вероятности.
- •24. Запишит формулу Бейеса. Какое ее предназначение?
- •Повторение независимых испытаний
- •25. Запишите формлу Бернулли. Какое ее предназначение?
- •26. Как находят наивероятнейшее число наступления событий?
- •27. Локальная теорема Муавра-Лапласа в каких случаях ее применяют.
- •28. Перечислите свойства функции Лапласа φ(х).
- •29 В чем заключаеся интегралная теорема Муавра – Лапласа. В каких случаях ее применяют.
- •30. Перечислите свойства функции Лапласа ф(х).
- •31. Сформулируйте теорему Пуассона. Как найти параметр λ?
- •Случайные величины
- •32. Опрделение сучайной величиы. Примеры непрерывных и дискретных случайных величин.
- •33. Закон распределения дискретной случайной величины.
- •34. Ряд распределения. Определение многоугольника распределения.
- •35. Какая функция наз. Интегральным законом распред-я случ. Величины. Сформул-те свойства этой функии.
- •36. Какая функция наз. Дифференциальной функцией распред-я случ. Величины. Сформул-те свойства этой функии.
- •37. Определение матемтического ожидания дискретной и непрерывной случ величины.
- •38. Свойства математического ожидания.
- •39. Определение дисперсии и среднего квадрат-го отклонения дискретной и непрерывной случ. Величины.
- •40. Сформулируйте св-ва дисперсии.
- •41 Определение начального и центрального моментов k-го порядка. Каковы простейшие соотношения между ними.
- •42.Определение моды и медианы.
- •43. Какой закон распределения называют биномиальным.
- •44. Какой формулой определяется закон распределения Пуассона?
- •45. Какой формулой определяется равномерный закон распределения. Запишите формулу функции распределения для равномерного закона распределения и постройте ее график.
- •46. Какой дифференциальной функцией распределения случ. Величины определяется нормальный закон распределения. Объясните содержание параметров, кот. Входят в выражение этой функции.
- •47. Как влияют математичекое ожидание и дисперсия на форму нормальной кривой.
- •48. Формула для вычисления вер-ти того, что случайная величина кот. Подлежит норм. Закону распред., принимает значения из интервала (a, b)
- •49. Сформулируйте првило трех сигм.
- •Системы случайных величин
- •50.Определение понятия системы случайных величин.
- •51. Закон распределения и функция распределения двух случ величин.
- •53. Закон распределения отдельной сл. Величины, кот. Входит в систему. Условный закон распределения
- •54. Численные характеристики системы двух случайных величин. Математ. Ожидание и дисперсия.
- •55. Численные характеристики системы двух случайных величин. Кореляционный момент. Коэффициент корреляции.
- •Граничные теоремы теории вероятностей
- •56.Нервенство Чебышева и ее смысл.
- •57. Теорема Чебышева и ее смысл.
- •58. Теорема Бернулли и ее смысл.
- •59. Центральная предельная теорема теории вероятностей для одинаково распределенных случайных величин. Формулировка и смысл.
- •Основні поняття математичної статистики
- •Предмет математичної статистики. Що називається статистичною сукупністю?
- •Визначення генеральної й вибіркової сукупностей. Наведіть приклади.
- •Який статистичний метод називається вибірковим методом?
- •Що розуміється під репрезентативністю вибіркової сукупності? Помилки репрезентативності і їхні види.
- •Що таке емпірична функція розподілу?
- •Які числові характеристики відображають центральну тенденцію? Середня арифметична і її властивості.
- •Які числові характеристики відображають мінливість? Поняття коефіцієнта варіації.
- •Які числові характеристики відображають мінливість? Дисперсія і її властивості.
- •Запишіть формули, за якими обчислюються середня арифметична, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, асиметрія й ексцес.
- •Перевірка статистичних гіпотез
- •3. Теорія статистичної оцінки
- •Яка величина розуміється під статистичною оцінкою параметра ?
- •Які оцінки називаються незміщеними, зміщеними? Наведіть приклади.
- •Які оцінки називаються незміщеними, зміщеними? Наведіть приклади. Чи є вибіркова дисперсія незміщеною оцінкою генеральної дисперсії ? Який дріб називають поправкою Бесселя?
- •Яка оцінка називається ефективною? Яка оцінка називається спроможною?
- •Що називається довірчим інтервалом або інтервальною оцінкою параметра ? Що визначає довірча ймовірність ?
- •Запишіть довірчий інтервал для генеральної середньої якщо відомо величину .
- •Випадкові процеси
- •1.Определение случайного процесса. Примеры случайных процессов.
- •2.Поняття перерізу випадкового процесу. Приклади, смисл. Представлення випадкового процесу за допомогою перерізів.
- •3. Поняття реалізації випадкового процесу. Сімейство реалізацій. Приклади.
- •4. Поняття математичного сподівання випадкового процесу.
- •5. Поняття дисперсії випадкового процесу.
- •6. Класифікація випадкових процесів за часом. Класифікація випадкових процесів за станами.
33. Закон распределения дискретной случайной величины.
Законом распр. ДСВ (Х) наз. соответствие между знач. случ. величины и вероятностями, с кот. она принимает эти знач-я, причем оассм. все возможные значения этой величины (СВ).записывают в виде таблиц
Х |
х1 |
х2 |
… |
хn |
Р |
p1 |
p2 |
… |
pn |
х1<x2<…<xn, т.к. это все возможные знач. ДСВ(Х), то соб. Х=х1, Х=х2…Х=хn, то соб. образ. полную группу (сис-му). р1+р2+…+рn=1эта ф-ла прим. для контроля правильности построения закона распр. ∑Pn=1.
34. Ряд распределения. Определение многоугольника распределения.
Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины Х является таблица (матрица), в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.
х1 |
х2 |
… |
xi |
… |
хn |
p1 |
p2 |
… |
pi |
… |
pn |
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.
События Х=х1, Х=x2,…,Х=xn, состоящие в том, что в результате испытания случайная величина Х примет соответственно значения х1, x2, ..., xn являются несовместными и единственно возможными (ибо в таблице перечислены все возможные значения случайной величины), Т.е. образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Т.о., для любой дискретной случайной величины .
Р яд распределения м.б. изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие их вероятности. Соединение полученных точек образует ломаную, называемую многоугольником или полигоном распределения вероятностей.
35. Какая функция наз. Интегральным законом распред-я случ. Величины. Сформул-те свойства этой функии.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х:
.
Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка Х попадет левее за данной точки х.
Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(х) равна 1.
Общие свойства функции распределения.
- Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: .
☺ Утверждение следует из того, что функция распределения – это вероятность. ☻
- Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.
☺ Пусть и - точки числовой оси, причем > . Покажем, что . Рассмотрим 2 несовместных события , . Тогда .
Это соотношение между событиями легко усматривается из их геометрической интерпретации (рис.3.6). По теореме сложения:
или откуда .
Так как вероятность , то ,
т.е. - неубывающая функция. ☻
- На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице, т.е.
.
☺ как вероятность невозможного события .
как вероятность достоверного события . ☻
- Вероятность попадания случайной величины в интервал (включая ) равна при ращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.:
.
☺ Формула следует непосредственно из формулы .