![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Основные понятия и теоремы теории вер-тей
- •1.Что изучает теория вер-тей
- •2.Что наз. Событием? Какие события достоверными, невозможными, случайными
- •6. Какие события называются единственно возможными. Приведите примеры
- •7. Какое множество событий образует полную группу событий? Приведите пример. Чему равняется сумма вер-тей событий, образующих группу?
- •8. Сформулируйте классическое определение вероятности. Приведите пример.
- •9. Какие события наз. Достоверными и невозможными. Какими могут быть вероятности достоверного и невозможного события. Примеры
- •10. Формула, по которой вычисляется вер-ть.Может ли быть вер-ть больше 1.Бывает ли вер-ть отрицательной.
- •11. Статическое определение вероятности
- •12. Что называют статистической устойчивостью событий. Прибли-жается ли относ. Частота событий к его вероятности при увеличении числа испытаний? Почему? Пример.
- •14. Определеие произведения событий. Что обозначает а*в, если а иВ совместимые.
- •17. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для совместных событий.
- •18. Какие события называют независимыми. Дайте определение независимых в совокуности событий.
- •19. Что называют условной вероятностью события. Приведите примеры.
- •20.Теорема умножени вероятностей для зависимых событий
- •21.Теорема умножени вероятностей для независимых событий
- •22. Чему равна вероятность появления в результате испытаний хотя бы одного из независимых в совокупности событий
- •23. Запишите формулу полной вер-ти.Какое свойство должны иметь гипотезы в формуле полной вероятности.
- •24. Запишит формулу Бейеса. Какое ее предназначение?
- •Повторение независимых испытаний
- •25. Запишите формлу Бернулли. Какое ее предназначение?
- •26. Как находят наивероятнейшее число наступления событий?
- •27. Локальная теорема Муавра-Лапласа в каких случаях ее применяют.
- •28. Перечислите свойства функции Лапласа φ(х).
- •29 В чем заключаеся интегралная теорема Муавра – Лапласа. В каких случаях ее применяют.
- •30. Перечислите свойства функции Лапласа ф(х).
- •31. Сформулируйте теорему Пуассона. Как найти параметр λ?
- •Случайные величины
- •32. Опрделение сучайной величиы. Примеры непрерывных и дискретных случайных величин.
- •33. Закон распределения дискретной случайной величины.
- •34. Ряд распределения. Определение многоугольника распределения.
- •35. Какая функция наз. Интегральным законом распред-я случ. Величины. Сформул-те свойства этой функии.
- •36. Какая функция наз. Дифференциальной функцией распред-я случ. Величины. Сформул-те свойства этой функии.
- •37. Определение матемтического ожидания дискретной и непрерывной случ величины.
- •38. Свойства математического ожидания.
- •39. Определение дисперсии и среднего квадрат-го отклонения дискретной и непрерывной случ. Величины.
- •40. Сформулируйте св-ва дисперсии.
- •41 Определение начального и центрального моментов k-го порядка. Каковы простейшие соотношения между ними.
- •42.Определение моды и медианы.
- •43. Какой закон распределения называют биномиальным.
- •44. Какой формулой определяется закон распределения Пуассона?
- •45. Какой формулой определяется равномерный закон распределения. Запишите формулу функции распределения для равномерного закона распределения и постройте ее график.
- •46. Какой дифференциальной функцией распределения случ. Величины определяется нормальный закон распределения. Объясните содержание параметров, кот. Входят в выражение этой функции.
- •47. Как влияют математичекое ожидание и дисперсия на форму нормальной кривой.
- •48. Формула для вычисления вер-ти того, что случайная величина кот. Подлежит норм. Закону распред., принимает значения из интервала (a, b)
- •49. Сформулируйте првило трех сигм.
- •Системы случайных величин
- •50.Определение понятия системы случайных величин.
- •51. Закон распределения и функция распределения двух случ величин.
- •53. Закон распределения отдельной сл. Величины, кот. Входит в систему. Условный закон распределения
- •54. Численные характеристики системы двух случайных величин. Математ. Ожидание и дисперсия.
- •55. Численные характеристики системы двух случайных величин. Кореляционный момент. Коэффициент корреляции.
- •Граничные теоремы теории вероятностей
- •56.Нервенство Чебышева и ее смысл.
- •57. Теорема Чебышева и ее смысл.
- •58. Теорема Бернулли и ее смысл.
- •59. Центральная предельная теорема теории вероятностей для одинаково распределенных случайных величин. Формулировка и смысл.
- •Основні поняття математичної статистики
- •Предмет математичної статистики. Що називається статистичною сукупністю?
- •Визначення генеральної й вибіркової сукупностей. Наведіть приклади.
- •Який статистичний метод називається вибірковим методом?
- •Що розуміється під репрезентативністю вибіркової сукупності? Помилки репрезентативності і їхні види.
- •Що таке емпірична функція розподілу?
- •Які числові характеристики відображають центральну тенденцію? Середня арифметична і її властивості.
- •Які числові характеристики відображають мінливість? Поняття коефіцієнта варіації.
- •Які числові характеристики відображають мінливість? Дисперсія і її властивості.
- •Запишіть формули, за якими обчислюються середня арифметична, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, асиметрія й ексцес.
- •Перевірка статистичних гіпотез
- •3. Теорія статистичної оцінки
- •Яка величина розуміється під статистичною оцінкою параметра ?
- •Які оцінки називаються незміщеними, зміщеними? Наведіть приклади.
- •Які оцінки називаються незміщеними, зміщеними? Наведіть приклади. Чи є вибіркова дисперсія незміщеною оцінкою генеральної дисперсії ? Який дріб називають поправкою Бесселя?
- •Яка оцінка називається ефективною? Яка оцінка називається спроможною?
- •Що називається довірчим інтервалом або інтервальною оцінкою параметра ? Що визначає довірча ймовірність ?
- •Запишіть довірчий інтервал для генеральної середньої якщо відомо величину .
- •Випадкові процеси
- •1.Определение случайного процесса. Примеры случайных процессов.
- •2.Поняття перерізу випадкового процесу. Приклади, смисл. Представлення випадкового процесу за допомогою перерізів.
- •3. Поняття реалізації випадкового процесу. Сімейство реалізацій. Приклади.
- •4. Поняття математичного сподівання випадкового процесу.
- •5. Поняття дисперсії випадкового процесу.
- •6. Класифікація випадкових процесів за часом. Класифікація випадкових процесів за станами.
3. Теорія статистичної оцінки
Яка величина розуміється під статистичною оцінкою параметра ?
Точковою
оцінкою невідомого параметру
називають функцію від вибіркових значень
випадкової величини, реалізація якої
приймається за невідоме значення
параметру
,
Для того, щоб оцінку
можна було використовувати замість
невідомого параметру
,
вона повинна бути спроможною, незміщеною
та ефективною.
Які оцінки називаються незміщеними, зміщеними? Наведіть приклади.
СМЕЩЕННАЯ ОЦЕНКА
-
статистическая оценка, математич.
ожидание к-рой не совпадает с оцениваемой
величиной.
Пусть X
- случайная
величина, принимающая значения в
выборочном пространстве
и
пусть Т=Т (Х) -точечная
статистич. оценка функции
заданной
на параметрич. множестве
Предполагается,
что математич. ожидание
оценки
Тсуществует. Если в этих условиях функция
не
равна тождественно нулю, т. е. если
то
Тназ. смещенной оценкой функции
а
сама функция
наз.
смещением или систематической ошибкой
оценки Т.
Пример.
Пусть Х 1,.
.., Х п - взаимно
независимые одинаково нормально
распределенные
случайные величины и пусть
В таком случае статистика
является
С. о. дисперсии
так
как
т.
е. оценка S2n имеет
смещение
при
этом квадратичный риск этой С. о. равен
Наилучшей несмещенной
оценкой параметра
является
статистика
квадратичный
риск к-рой равен
В
данном случае при n>2 квадратичный риск
С. о. S2n меньше
квадратичного риска наилучшей несмещенной
оценки s2n.
Существуют
ситуации, когда несмещенные оценки не
существуют. Так, напр., не существует
несмещенной оценки для абсолютной
величины | а| математич.
ожидания анормального закона
т.
е. для | а| можно
построить только С.
Які оцінки називаються незміщеними, зміщеними? Наведіть приклади. Чи є вибіркова дисперсія незміщеною оцінкою генеральної дисперсії ? Який дріб називають поправкою Бесселя?
Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику - генеральную дисперсию.
Генеральной
дисперсией Dг
называют среднее арифметическое
квадратов отклонений значений признака
генеральной совокупности от их среднего
значения
.
Если все значения x1, х2, …, xN признака генеральной совокупности объема N различны, то
.
Если же значения признака x1, х2, …, xk имеют соответственно частоты N1, N2,…, Nk, причем N1 +N2+…+Nk=N, то
,
т.е. генеральная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам.
4.
Запишіть
формулу для обчислення незміщеної
оцінки
генеральної дисперсії
.
Пусть из генеральной совокупности в результате n независимых наблюдений над количественным признаком X извлечена повторная выборка объема n:
-
значения признака………
x1
x2
…
xk
частоты…………………...
n1
n2
…
nk
При этом n1 + n2 + ... + nk = п.
Требуется по данным выборки оценить (приближенно найти) неизвестную генеральную дисперсию Dг. Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что, как можно доказать, выборочная дисперсия является смещенной оценкой Dг, другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно
.
Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить Dв на дробь n/(n-1). Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через s2:
.
Исправленная дисперсия является, конечно, несмещенной оценкой генеральной дисперсии. Действительно,
.
Итак, в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию
.
Для оценки же среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии:
.
Подчеркнем, что s не является несмещенной оценкой; чтобы отразить этот факт, мы написали и будем писать далее так: «исправленное» среднее квадратическое отклонение.