22. Чему равна вероятность появления в результате испытаний хотя бы одного из независимых в совокупности событий
Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема. Теорема. Вероятность
появления хотя бы одного из событий
А1 ,
А2 ,
..., Аn ,
независимых в совокупности, равна
разности между единицей и произведением
вероятностей противоположных событий
Р (A) = 1 — q1q2 ... qn.(*) Доказательство Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А1,А2, ...,An. События А и
(ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:
Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим
или
Ч а с т н ы й с л у ч а й. Если события А1 , А2 , ..., Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий P (A) = l — qn. (**) |
23. Запишите формулу полной вер-ти.Какое свойство должны иметь гипотезы в формуле полной вероятности.
Предположим, что событие А происходит одновременно с одним из событий H1, H2,…,Hn, попарно несовместных и образующих полную группу событий.Т.к. заранее неизвестно, с каким из событий Hi событие А произойдет, то H1…Hn – гипотезы. Вероятность P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2)+…+P(Hn)P(A/Hn).Или
P(A)=
Доказательство:А=AH1+AH2+…+AHn. Т.к. события Hi попарны и несовместны, то будут попарными и несовместными и события AHi. По теореме несовместных событий получаем P(A)=P(AH1+AH2+ …+AHn)= P(H1)+…+P(Hn). P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2)+…+P(Hn)P(A/Hn).
Замечание1: Т.к. H1,…,Hn образуют полную вероятность, то сумма вероятностей равна 1: P(H1)+ P(H2)+…+ P(Hn)=1.
Замечание2: Вероятности гипотез определяются до опыта и называются априорными.
Гипотезы несовместны.
24. Запишит формулу Бейеса. Какое ее предназначение?
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса.
Она применяется, когда событие F, которое может появиться только с одной из гипотез А1,А2,…,Аn образующих полную группу событий, произошло и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез P(A1), Р(А2),..., Р(Аn), известных о испытания, Т.е. надо найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные вероятности гипотез PF(A1),PF(А2),...,РF(Аn).
□
Для
получения искомой формулы запишем
теорему умножения вероятностей событий
F и Аi в двух формах:
,
откуда
или
с учетом формулы полной вероятности:
. ■
Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события Р, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход, называемый байесовским,дает возможность корректировать управленческие решения в эк-ке, оценки неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом анализе.