20.Теорема умножени вероятностей для зависимых событий

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р (АВ) = Р (А) Р_A (В) (*)

Доказательство

По определению условной вероятности,

РA (B) = Р (АВ) / Р (A).

Отсюда

Р (АВ) = Р (А) РA (В).

З а м е ч ан и е. Применив формулу (*) к событию ВА, получим Р (ВА) = Р (В) Рв (А), или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ, -> Р(АВ) = Р (В) Рв (А)

Сравнивая формулы Р (АВ) = Р (А) Р_A (В) и Р(АВ) = Р (В) Рв (А), заключаем о справедливости равенства

Р (А) Ра (В) = Р (В) Рв (А)

Теорема (правило) умножения вероятностей легко обобщается на случай произвольного числа событий:

P(ABC...KL) = Р(А)· Р_А(В)· Р_АВ(С) ... Р_АВС...К(L),

Т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других; при этом условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

Пример 1. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков - конусный, а второй - эллиптический.

Р е ш е н и е. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие A), Р(А) = 3 / 10. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик - конусный, т. е. условная вероятность Р_A(В) = 7 / 9.

По теореме умножения, искомая вероятность Р(АВ) = Р(А)•Р_A(В) = (3/10)• (7/9) = 7/30. Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем: Р(В) = 7/10, Р_B(А) = 3/9, Р(В)•Р_B(А) = 7/30, что наглядно иллюстрирует справедливость равенства.

С л е д с т в и е. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

где явл вероятностью события A_n, вычисленной в предположении, что события А₁,А₂,..., А_{n — 1} наступили. В частности, для трех событий Р (AВС) = Р (А) Р_A (В) Р_AB (С). Порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считатьпервым, вторым и т. д.

21.Теорема умножени вероятностей для независимых событий

Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий.

Теорема . Если случайные события А и В независимые, то вероятность совместного появления событий А и В равно произведению вероятностей этих событий.

Р (А × В) = Р(А) × Р(В).

(4.6)

Пример .

Студент должен сдать два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен р₁=0,8. Вероятность сдать второй экзамен р₂ =0,7. Какова вероятность, что студент сдаст два экзамена в сессию.

Решение.

Событие А – сдать первый экзамен. Событие В – сдать второй экзамен. Оба события независимы. Событие А×В – сдать два экзамена. Вероятность сдать два экзамена вычисляется по формуле (4.6).

Р(А × В) = Р(А)×Р(В) = р₁× р₂ = 0,7 × 0,8 = 0,56.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

Р(А1×А2×…×Аk) = Р(А1) × Р(А2)×…×Р(Аk).

(a)

Частным случаем совместного появления нескольких независимых событий является равенство вероятностей всех событий Р(А₁) =Р(А₂)=…=Р(А_k) в формуле (a).