17. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для совместных событий.

 Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления. 

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(AB) 

Доказательство:

A+B=AB+AB+AB (сумма несовместных пар)

Тогда p(A+B)=p(AB)+p(AB)+p(AB)

Событие A=AB+AB,

Событие B=AB+AB

p(A+B)=p(A)−p(AB)+p(B)−p(AB)+p(AB)=p(A)+p(B)−p(AB) 

Замечание: в этой теореме может существовать 2 различные ситуации.

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B),  где A и B - независимые;

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B∖A),  

где A и B - зависимые;

18. Какие события называют независимыми. Дайте определение независимых в совокуности событий.

события А и В называются независимыми, если P(AB)=P(A)P(B)

Свойства независимых событий:

1. если P(B)>0, то независимость А и В эквивалентна требованию : P_B(A)=P(A)

2. если события А и В независимы, то и события и В также независимы

3. пусть события А и В₁ независимы, А и В₂ независимы, В₁В₂=Ø, то есть В₁ и В₂ несовместны. Тогда события А и В₁+В₂ независимы.

4. если события А и В являются независимыми с положительными вероятностями, то они являются несовместными.

Следствие. Если события А и В несовместны и P(A)>0, P(B)>0, то А и В обязательно зависимы.

События А₁, А₂,…, А_n называются независимыми в совокупности, если для любого k(2≤k≤n) имеет место

P(A_i1, A_i2,…, A_ik)= (1)

Если формула (1) имеет место только при k=2, то события А₁,А_2,…,А_n называются попарно независимыми.

Из попарной независимости событий не следует независимость событий в совокупности.

19. Что называют условной вероятностью события. Приведите примеры.

На практике часто встречаются ситуации, когда наступление некоторого события значительно меняет возможности наступления других событий и их вероятности. Если произошло событие B, то новая вероятность события А называется условной вероятностью и обозначается P_B(A), говорят: «вероятность события А при условии B». При этом B оказывается достоверным событием и играет роль пространства элементарных событий Ω.

Условная вероятность P_B(A) определяется формулой (при P(B) >0):

P_B(A)= (1)

Из (1) следует формула:

P(A*B)= P_B(A) P(B), P(B)>0, (2)

И симметричная формула:

P(A*B)= P_A(B)P(A), P(A)>0 (3)

В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Р е ш е н и е. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность

РA (В) = 3 / 5.

Этот же результат можно получить по формуле

РA (В) = Р (АВ) / Р (А) (Р (А) > 0). (*)

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании

Р (А) = 3 / 6 = 1 / 2.

Найдем вероятность Р (АВ) того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений A26 = 6 * 5 = 30. Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3 * 3 = 9 исходов. Следовательно,

Р (AВ) = 9 / 30 = 3 / 10.

Искомая условная вероятность

РA (В) = Р (АВ) / Р (А) = (3 / 10) / (1 / 2) = 3 / 5.

Как видим, получен прежний результат.