Поток Пальма.
Поток Пальма еще называют потоком с ограниченным последействием
Определение. Потоком Пальма называется ординарный поток однородных событий, если промежутки между событиями Т1, Т2, … представляют собой независимые случайные величины.
Если промежутки времени Т1, Т2, … распределены по показательному закону, то поток Пальма становится простейшим потоком.
Примером потока Пальма может служить движение колонны автомобилей. Пусть движется колонна автомобилей, каждый из которых, двигаясь с одинаковой скоростью, стремится держаться на некотором заданном расстоянии от впереди идущего автомобиля. Однако, вследствие воздействия множества случайных факторов, это расстояние выдерживается не точно. Тогда времена пересечения каждым автомобилем определенного рубежа Т1, Т2, … будут независимыми случайными величинами и образуют по ток Пальма.
Отметим, что если автомобили будут стремиться выдерживать заданное расстояние не от соседней машины, а от головной, то моменты пересечения этого рубежа уже не будут образовывать поток Пальма.
Поток Пальма часто получается в качестве выходного потока систем массового обслуживания.
Теорема. (Теорема Пальма) Пусть на систему массового обслуживания поступает поток заявок типа Пальма, причем заявка, заставшая все каналы занятыми, получает отказ (не обслуживается). Если при этом время обслуживания имеет показательный закон распределения, то поток не обслуженных заявок является также потоком типа Пальма.
Этот факт важен, так как на практике получившие отказ заявки обычно перенаправляются на другую систему массового обслуживания, т.е. образуют для этой системы входной поток.
Так, если на систему массового обслуживания поступает простейший входной поток, то поток заявок, получивших отказ, уже не будет простейшим, однако, будет потоком с ограниченным последействием.
Потоки Эрланга.
Поток Эрланга k-го порядка — это поток случайных событий, получающийся, если в простейшем (см. лекцию 28) случайном потоке сохранить каждое k-е событие, а остальные отбросить (см. рис. 29.2). Порядок потока — мера последействия потока. То есть обратной величиной к мере случайности потока является его порядок.
Рис. 29.2. Иллюстрация метода получения потоков Эрланга
Просеивание событий начинает приводить к тому, что между точками появляется последействие, детерминация, которая тем выше, чем больше k. С увеличением k точки ложатся на ось времени все более равномерно, разброс их уменьшается, регулярность увеличивается.
Основано это на том простом и ранее изученном нами факте, что сумма случайных величин есть величина неслучайная (центральная предельная теорема — см. лекцию 25). Чем больше мы сложим случайных величин, тем предсказуемее будет результат (их сумма).
Очевидно, что
— интервал между событиями в потоке Эрланга k-го порядка.
Плотность
вероятности распределения интервалов
между случайными событиями в потоке
Эрланга k-го порядка:
λk = λ/k — интенсивность потока Эрланга k-го порядка, где λ — интенсивность простейшего потока Пуассона, а λk интенсивность просеянного k раз потока, то есть в k раз меньше.
Параметры закона Эрланга вычисляются по формулам: Mk = 1/λk, σk = 1/sqrt(k)/λk,
Обратите внимание, что в потоке Эрланга M ≠ σ, то есть в потоках с последействием равенство M и σ невозможно.
Более того, при k –> ∞ событие происходит строго в размеренное время, так как σ –> 0.
Сравните:
Поток Эрланга 1-го порядка: m = σ1 — поток без последействия;
Поток Эрланга i-го порядка: m ≠ σ2, при этом (σ2 > 0) и (σ1 > σ2) разброс уменьшается, последействие увеличивается;
Поток Эрланга ∞-го порядка: m ≠ σ = 0 — регулярный поток.
Из этого следует, что порядок потока Эрланга — есть мера последействия потока.