Потоки событий и его свойства.
Поток событий — последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.
Свойства
Свойство стационарности: вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета.
Свойство отсутствия последействия: вероятность появления k на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка.
Свойство ординарности: вероятностью наступления за элементарный промежуток времени более одного события можно пренебречь по сравнению с вероятностью наступления за этот промежуток не более одного события
более доступное понимание свойств:
Ординарные — когда вероятность одновременного появления двух и более событий равна нулю.
Стационарные — когда вероятность попадения того или иного числа событий на участок времени, зависит только от длины этого участка
Без последействия — когда вероятность не зависит от момента совершения предыдущих событий.
Простейший (стационарный пуассоновский) поток — поток событий, обладающий свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.
Интенсивность потока () — среднее число событий, которые появляются в единицу времени.
Простейший поток.
При аналитическом моделировании характеристики системы вычисляются наиболее просто для потока заявок называемого простейшим.
Простейший поток - это поток заявок, который обладает всеми 3-мя св-ми: стационарность, ординарность, отсутствие последействия.
У простейшего потока интервалы времени между 2-мя последовательными заявками - независимые СВ с функцией распределения F(t)=1-e^(-λt) .
Графический вид данного распределения:
акое распределение называется экспоненциальным или показательным и имеет плотность распределения:
F|(t)=f(t)= λ* e-λt - Дифференциальный закон или плотность вер-ти.
Для простейшего потока:
Мат.ожидание длины интервала- это интеграл:
M[T]=
Дисперсия:
D[T]=M[T^2]-(M[T] )^2 =
Среднеквадратичное отклонение:
σ(t)=
Экспоненциальное распределение характеризуется одним количественным параметром - интенсивностью.
Простейший поток заявок обладает следующими особенностями:
1)Сумма независимых
стационарных потоков с интенсивностями
λi и любыми законами распределения
сходятся к простейшему с интенсивностью
λ:
где к=4-5 и выше.
2)Поток заявок, полученный в результате случайного разряжения исходного стационарного, ординарного потока имеющего интенсивность λ, когда каждая заявка исключается из потока с определенной вероятностью P независимо от того исключены другие заявки или нет образует простейший поток с интенсивностью λ=P*λисх.
3)Интервал времени между произвольным моментом времени и моментом времени поступления очередной заявки имеет экспоненциальное распределение с таким же мат. ожиданием (1/λ), что и интервал времени между 2-мя последовательными заявками.
4)Простейший поток создает так называемый тяжелый режим функционирования системы, т.к.:
а)Большое число (63%) промежутков времени между заявками имеют длину меньшую чем ее M[T] =1/λ.
б)Коэффициент вариации ν=( σ[T])/(M[T]), характеризующий степень нерегулярности потока =1. В то время как у детерминированного потока ν=0, а для большинства законов распределения 0<ν<1.
Простейший поток создает тяжелый режим функционирования системы, поскольку большое число промежутков времени (63%) между заявками имеет длину, меньшую, чем математическое ожидание (М=1/λ) и коэффициент вариации Р=s(t)/M(t), характеризующий степень нерегулируемости потока, равен единице в то время, как у детерминированных потоков D=0.
Для большинства остальных законов распределения 0<D<1
Вычислим вероятность появления периодов t, меньше Мt=1/λ.
Формула плотности распределения:
F(t) = 1-e^(-λt) , тогда Р{0<t<Mt}=F(Mt)-F(0)=( 1-e^(-λt))-(1-e^(-0))=1-1/e=0/63=63%
Т.е. наступление событий с более короткими промежутками, меньшими, чем математическое ожидание Мt=1/λ., более вероятно, чем с длинными.
Простейший поток имеет широкое распространение не только из-за аналитической простоты связанной с ним теории, но и потому, что большое число наблюдаемых потоков стохастически не отличимы от простейшего.
Этот эмпирический факт подтвержден рядом математических моделей, в которых при довольно общих условиях доказывается, что поток близок к простейшему.