19. Граф состояний и переходов.

В общем виде граф переходов или состояний представляет собой следующее изображение:

Граф переходов составляется на основании словесной формулировки алгоритмов управления, а также введения обозначения сигналов в следующей последовательности:

1. Определяется начальное состояние объекта, из которого начинается процесс управления, и для него вводится начальное состояние на графе переходов, обозначаемое кружком "О". Для этого состояния определяются значения всех выходных сигналов УЛУ, а также соответствующие им состояния ИМ объекта и элементов на пульте управления (ПУ). Все начальные состояния выходных сигналов приписываются в начальном состоянии графа переходов с помощью введенных раннее обозначений.

2. Определяется очередность состояний объекта и необходимое для этого изменение состояний ИМ. Каждый переход из начального состояния в последующие изображается направленной линией, связывающей изображение этих состояний. Стрелка, указывающая направление перехода, обычно изображается в средней части линии. Над стрелкой указывается логическое условие, при выполнение которого осуществляется данный переход, т.е. переход разрешается, когда логическое условие перехода принимает единичное значение. Если из данного состояния возможны несколько переходов, то все они изображаются направленными переходами с соответствующими условиями переходов, при этом все условия должны быть взаимоисключающими, т.е. не должно выполняться более одного условия в данный момент времени (иначе это будет противоречить требованию однозначности алгоритма).

3. Чтобы избежать избыточного числа состояний на графе переходов, каждое новое состояние вводится только тогда, когда аналогичного состояния на графе не вводилось.

Аналогичными или идентичными состояниями графа переходов называют состояния, в которых формируются одинаковые выходные сигналы для объекта и ПУ.

4. Построение графа переходов продолжается до тех пор, пока все последовательности состояний не образуют замкнутые циклы или подграфы. Наличие или появление тупиковых состояний, из которых нет переходов в другие состояния, свидетельствует, как правило, либо об ошибках построения графа переходов, либо о не полноте или ошибочности исходных данных, приведенных в словесной формулировке алгоритма. В этом случае необходимо доопределить и замкнуть граф соответствующим переходом.

20. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояния.

Исчерпывающей количественной характеристикой Марковского процесса является совокупность вероятностей состояний, т.е. вероятностей того, что в момент процесс будет находиться в состоянии .

Рис. 3.3. Граф состояний модели размножения и гибели

Рассмотрим, как определяются вероятности состояний по приведенному на рис. 3.3 графу состояний, считая все потоки простейшими. В случайный момент времени система может находиться в одном из состояний с вероятностью . Придадим малое приращение и найдем, например, - вероятность того, что в момент система будет в состоянии . Это может произойти, во-первых, если система в момент была в состоянии и за время не вышла из него; во-вторых, если в момент система была в состоянии или и за время перешла в состояние

В первом случае надо вероятность умножить на вероятность того, что за время система не перейдет в состояние , или . Суммарный поток событий, выводящий систему из состояния , имеет интенсивность . Значит, вероятность того, что за время система выйдет из состояния , равна . Отсюда вероятность первого варианта

Найдем вероятность перехода в состояние . Если в момент система находилась в состоянии с вероятностью , то вероятность перехода в состояние за время равна

Аналогично для состояния

Складывая вероятности и , получим

Раскроем квадратные скобки, перенесем в левую часть и разделим обе части на :

Если устремить к нулю, то слева получим производную функции :

Аналогичные уравнения можно вывести для всех остальных состояний. Получается система дифференциальных уравнений:

Эта система линейных дифференциальных уравнений дает возможность найти вероятности состояний, если задать начальные условия. В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности -го состояния, а в правой – сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых ведут стрелки в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность -го состояния.

Представим уравнения Колмогорова в общем виде:

Здесь учтено, что для состояний, не имеющих непосредственных переходов, можно считать

.