Финальные вероятности состояния.
Процессы гибели и размножения
Мы представили
доказательства, что при наличии
размеченного ГСП системы, возможно
сразу представить алгебраические
уравнения для предельных вероятностей
системы. Итак, если две непрерывные цепи
Маркова предполагают эквивалентные
графы состояний, различия касаются лишь
значений интенсивностей
, то можно исключить определение
предельных вероятностей состояний для
каждого из графов в отдельности. В данном
случае достаточно составить и найти
решение для одного из них, далее необходимо
будет применить вместо
соответствующие
значения. Для большинства распространенных
форм графов линейные уравнения могут
быть решаемы в алгебраическом виде.
Разберем одно из направлений непрерывных марковских цепей, которое называется процессом размножения и гибели.
Марковская
непрерывная цепь может быть названа
«процессом размножения и гибели» при
наличии условия, что ее ГСП (рис. 5.5, а)
предполагает, что все состояния можно
построить в одну цепочку, в которой
каждое из средних состояний (
)
имеет прямую и обратную связь с каждым
из сменяющих друг друга состоянием, при
этом, крайние состояния (
)
связаны только с одним соседним
состоянием.
Пример 5.4. Три одинаковых узла образуют техническое устройство; каждый из узлов может оказаться в состоянии неисправленности; отказавший узел сразу приступает к восстановлению. Состояния системы:
-
три узла в рабочем состоянии;
-
один узел неисправен (состояние
восстановления), два в рабочем состоянии;
-
два узла восстанавливаются, два в рабочем
состоянии;
-
три узла в неисправленном состоянии.
ГСП обозначен на рис. 5.5, б. Граф иллюстрирует, что процесс, который существует в системе, можно назвать процессом размножения и гибели.
С практической точки зрения схема размножения и гибели является достаточно распространенным явлением. Таким образом, полезным представляется рассмотрение подобной схемы в общем виде. Имеет смысл найти решение соответствующей системы уравнений для того, чтобы в последующем, сталкиваясь с конкретными процессами, которые развиваются в соответствии с такой схемой, использовать уже готовое решение.
Разберем случайный процесс размножения и гибели с графом состояний, обозначенном на рис. 5.5, а.
Представим
алгебраические уравнения для вероятностей
состояний. Первому состоянию
соответствует:
Для второго состояния суммы членов, которые соответствуют входящим и выходящим стрелкам, равны:
На основании (5.29) возможным представляется реализация сокращения справа и слева эквивалентных между собой членов, в итоге имеем:
затем, подобным
образом получим
и т. п.
Понятно, что в данном случае члены, которые соответствуют стоящим друг над другом стрелкам, являются эквивалентными между собой.
ис. 5.5. ГСП для процессов размножения и гибели:
а — общий вид; б — численный номер
здесь
принимает
все значения от 2 до
Таким образом,
можно заключить, что предельные
вероятности состояний
в любой схеме размножения и гибели
удовлетворяют уравнениям: .
и
нормированному условию (5.23):
Решение этой
системы может быть осуществлено так:
выразим все переменные через
:
из 1-го уравнения
(5.31) представим выражение
:
из 2-го уравнения,
принимая во внимание (5.32):
общая формула
может быть представлена в виде:
Эта формула является справедливой для каждого от 2 до
Теперь коснемся структуры (5.33). В числителе находится произведение всех интенсивностей вероятности перехода , которые обозначены у стрелок, имеющих направление слева направо, сначала и до той, которая попадает в состояние , которые отмечены у стрелок, имеющих направление справа налево, сначала и до стрелки, берущей свое начало из состояния , которые отмечены у стрелок, имеющих направление слева направо, в знаменателе — у всех стрелок, имеющих направление справа налево.
Таким образом,
обозначим выражение всех вероятностей
).
Использовав эти выражения в нормированном
условии (необходимо по аналогии с (5.28)
вынести
),имеем:
.
Пример 5.5. Определить предельные вероятности состояний, характерные для процесса размножения и гибели (его граф отмечен на рис. 5.4, б).
Используя формулы (5.32)-(5.34), имеем:
