8.4.2. Метод конечных разностей

Состоит в том, что сводит решение краевой задачи для дифференциального уравнения к решению системы алгебраических уравнений относительно значений искомой функции на заданном множестве точек. Это достигается путем замены производных, входящих в дифференциальное уравнение, их конечно-разностными аппроксимациями.

Рассмотрим сущность такого метода решения для дифференциального уравнения второго порядка

Разобьем область интегрирования на N равных частей точками x_i=ih i=0,1,…,n

x₀=a, x_N=b

x_i=x₀+ih i=

Решение краевой задачи сведем к вычислению значений сеточной функции y_i в узловых точках x_i.

Для этого напишем уравнение для внутренних узлов

Заменим производные, входящие в эти соотношения их конечно-разностными аппроксимациями

Подставляя эти выражения в уравнения для внутренних точек, получаем систему разностных уравнений

i=1,2,…,n-1

являющуюся системой n-1 алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции y₁,y₂,…,y_n-1

Пример 1

Таким образом получена система из n-1 линейного уравнения

Пример 2

Таким образом получена система из n-1 линейного уравнения

Входящие в систему y₀ и y_n берутся из граничных условий, если они заданы в частном виде.

Если краевые условия заданы в общем виде

,

То их необходимо также представить в разностном виде путем аппроксимации их производных и с помощью конечно-разностных соотношений

Краевые условия примут вид

Из этих соотношений легко выразить y₀ и y_n

Таким образом решение краевой задачи для дифференциального уравнения сведено к решению системы алгебраических уравнений. Эта система является линейной или нелинейной в зависимости от того линейно или нелинейно дифференциальное уравнение. Соответственно решаются эти системы методами для решения систем линейных или нелинейных уравнений.