Колебания. Определение и классификация. Гармонические колебания. Скорость и ускорение. Пружинный маятник.

Колеба́ния — повторяющийся в той или иной степени во времени процесса изменения состояний системы. Например, при колебаниях маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения; при колебаниях в электрическом колебательном контуре повторяются величина и направление тока, текущего через катушку.Колебания почти всегда связаны с попеременным превращением энергии одной формы проявления в другую форму. Колебания различной физической природы имеют много общих закономерностей и тесно взаимосвязаны c волнами. Поэтому исследованиями этих закономерностей занимается обобщённая теория колебаний и волн. Принципиальное отличие от волн: при колебаниях не происходит переноса энергии, это, так сказать, «местные» преобразования энергии.

Выделение разных видов колебаний зависит от подчёркиваемых свойств колеблющихся систем (осцилляторов).

По физической природе:

Механические (звук, вибрация)

Электромагнитные (свет, радиоволны, тепловые)

Смешанного типа — комбинации вышеперечисленных.

По характеру взаимодействия с окружающей средой

Вынужденные — колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия.

Собственные (или свободные) — колебания при отсутствии внешних сил, когда система, после первоначального воздействия внешней силы, предоставляется самой себе (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие)

Автоколебания — колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии, расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы — механические часы).

Параметрические — колебания, при которых за счет внешнего воздействия происходит изменение какого-либо параметра колебательной системы.

Характеристики

Амплитуда — максимальное отклонение колеблющейся величины от некоторого усреднённого её значения для системы, А(м)

Период — промежуток времени, через который повторяются какие-либо показатели состояния системы (система совершает одно полное колебание), Т (сек)

Частота — число колебаний в единицу времени, (Гц, сек−1).

Период колебаний и частота — обратные величины;

Круговая (циклическая) частота (рад/сек, Гц, сек−1), показывающая число колебаний за 2π единиц времени (изменение фазы колебаний, выраженное в радианах, за секунду времени): Любое колебание может быть представлено как сумма гармонических колебаний. Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина изменяется так: или ,где х—значение изменяющейся величины,t — время, А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний, — полная фаза колебаний, — начальная фаза колебаний.

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы.

Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k , один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m. Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения.Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.

В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене.

Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид: . Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению: F (t) = ma (t) = –m ω^2 x (t). В этом соотношении ω – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука: Fупр = –kx. Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими. Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно, составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором. Круговая частота ω0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона: ma=-kx=m(w^2_0)x, откуда Частота ω0 называется собственной частотой колебательной системы.

Период T гармонических колебаний груза на пружине равен При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x0, равную mg/k, и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ω0 и периода колебаний T справедливы и в этом случае. Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела a и координатой x: ускорение является второй производной координаты тела x по времени t:a(t)=x’’(t), Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде ma=mx’’=-kx, или где

Задача о математическом и физическом маятнике.

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в поле тяжести. Период малых колебаний математического маятника длины l в поле тяжести с ускорением свободного падения g равен T=2пи*(l/g)^1/2 и мало зависит от амплитуды и массы маятника.Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной. Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида где ω ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция x(t) ― это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; , где l ― длина подвеса, g ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид: .

Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимых константы: где A — амплитуда колебаний маятника, фи нулевое — начальная фаза колебаний, ω — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями. Физический маятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела. — угол отклонения маятника от равновесия;фи нулевое— начальный угол отклонения маятника;m— масса маятника; h— расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;r— радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.g — ускорение свободного падения. Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:I=m(r^2+h^2) Пренебрегая сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести записывается следующим образом: ,Полагая , предыдущее уравнение можно переписать в виде l* (d^2(фи)/dt^2)=-gsin(фи),это аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной l-приведённой длиной физического маятника.Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился. Теорема Гюйгенса:Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания. Если амплитуда колебаний мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается .