Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.
Рассмотрим колебательную систему, состоящую из точечного груза массы и четырех связанных с ним пружин.
Если масса движется
по гладкой горизонтальной поверхности
(на рисунке показан вид сверху), то ее
мгновенное расположение описывается
двумя смещениями из положения равновесия
- точки О: S_1(t)
и S2(t)
Такая система обладает двумя степенями
свободы. Будем считать смещения малыми,
чтобы, во-первых, выполнялся закон Гука,
а, во-вторых, при смещении вдоль направления
деформации пружин с жесткостью не
приводили к сколько-нибудь заметному
вкладу в возвращающую силу
Аналогично, при смещении в перпендикулярном
направлении возвращающая сила
При таких условиях колебания в двух
взаимно перпендикулярных направлениях
происходят независимо друг от друга:
Здесь собственные частоты гармонических
колебаний равны
а амплитуды и начальные фазы определяются
начальными условиями. в общем случае
груз будет совершать периодические
движения по эллиптической траектории.
Направление движения вдоль траектории
и ориентация эллипса относительно осей
Os1 и Os2 зависят от начальной разности
фаз
уравнение траектории движущегося груза
будет уравнением эллипса:
Фигу́ры Лиссажу́
— замкнутые траектории, прочерчиваемые
точкой, совершающей одновременно два
гармонических колебания в двух взаимно
перпендикулярных направлениях. Впервые
изучены французским учёным Ж. Вид фигур
зависит от соотношения между периодами
(частотами), фазами и амплитудами обоих
колебаний. В простейшем случае равенства
обоих периодов фигуры представляют
собой эллипсы, которые при разности фаз
0 или π
вырождаются в отрезки прямых, а при
разности фаз π/2
и равенстве амплитуд превращаются в
окружность. Если периоды обоих колебаний
неточно совпадают, то разность фаз всё
время меняется, вследствие чего эллипс
всё время деформируется. При существенно
различных периодах фигуры Лиссажу не
наблюдаются. Однако, если периоды
относятся как целые числа, то через
промежуток времени, равный наименьшему
кратному обоих периодов, движущаяся
точка снова возвращается в то же положение
— получаются фигуры Лиссажу более
сложной формы. Фигуры Лиссажу вписываются
в прямоугольник, центр которого совпадает
с началом координат, а стороны параллельны
осям координат и расположены по обе
стороны от них на расстояниях, равных
амплитудам колебаний.Математическое
выражение для кривой Лиссажу
,
где A, B — амплитуды
колебаний, a, b — частоты, δ — сдвиг фаз
Сложение гармонических колебаний со слегка отличающимися частотами.
Две волны, имеющие слегка отличающиеся частоты, дают усиление, пока разность фаз невелика. По мере нарастания разности фаз результирующее смещение все уменьшается, но затем снова начинает нарастать по мере приближения разности фаз к 2п . Эти чередующиеся нарастания и убывания амплитуды называют биениями. Частота биений равна разности частот.
Биения возникают вследствие того, что разность фаз между двумя колебаниями с различными частотами всё время изменяется так, что оба колебания оказываются в какой-то момент времени в фазе, через некоторое время - в противофазе. Результат биений зависит в первую очередь от разности фаз между колебаниями, которая всё время меняется от 0 до 2п). По мере сближения частот колебаний w1 и w2 частота биения уменьшается, исчезая при их равенстве (возникают "нулевые" биения). Этим широко пользуются при настройке музыкальных инструментов с помощью камертона и в радиотехнике (гетеродинный прием: суть его заключается в том, что если 2 гармонических колебания подать на нелинейный элемент - детектор, то получается гармоническое колебание с разностной частотой, которое много ниже частоты принимаемых колебаний, следовательно при некоторых соотношениях частот она может восприниматься на слух). С помощью биений можно обнаружить чрезвычайно малые разности частот, поэтому метод биений широко применяют в разнообразных приборах для измерения частот, ёмкости, индуктивности и т.д.
Вектор волновой - вектор, направление которого перпендикулярно фазовому фронту бегущей волны, а абсолютное значение равно волновому числу (k = 2п/lambda)
