8. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

8.1. Основные понятия

В зависимости от числа независимых переменных дифференциального уравнения делятся на две существенно различные группы:

- обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную

- уравнения с частными производными, содержащие несколько независимых переменных.

Обыкновенные дифференциальные уравнения – уравнения, содержащие одну независимую производную и одну или несколько производных от искомой функции . Их можно записать в виде

(8.1)

где х - независимая переменная.

Наивысший порядок n, входящей в уравнение производной называется порядком дифференциального уравнения. Например, уравнения первого и второго порядков соответственно

В ряде случаев из общей записи дифференциального уравнения удается выразить старшую производную в явном виде

(8.2)

или для уравнений первого и второго порядков

Такая форма записи называется дифференциальным уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

Решением дифференциального уравнения (8.1) называется всякая функция , которая после её подстановки в уравнение превращает его в тождество.

Общее решение дифференциального уравнения (8.1) n-го порядка содержит n производных постоянных c₁, c₂,…,c_n, то есть общее решение имеет вид

(8.3)

Частное решение дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения

, (8.4)

если постоянные принимают определенные значения

Например, для уравнения первого порядка

- общее решение

- частное решение,

если (постоянная принимает значение ).

Для выделения частного решения из общего нужно задать дополнительные условия. Количество дополнительных условий соответствует количеству произвольных постоянных в общем решении, то есть равно порядку уравнения.

В качестве дополнительных условий могут задаваться значения искомой функции и её производных при некоторых значениях независимой переменной, то есть в некоторых точках.

В зависимости от способа задания дополнительных условий существует два различных типа задач:

- задача Коши, когда дополнительные условия задаются в одной точке. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями, а точка х=х₀, в которой они задаются, - начальной точкой.

- краевая задача, когда дополнительные условия задаются в более чем одной точке, то есть при разных значениях независимой переменной. Сами дополнительные условия при этом называются граничными (или краевыми) условиями. На практике обычно граничные условия задаются в двух точках х=а и х=b, являющихся границами области решения дифференциального уравнения.

Пример

Задача Коши

Краевая задача

, , (a>0, b>1)

, , ,

(a>1, b>3)