8.3.5. Системы дифференциальных уравнений и дифференциального уравнения высших порядков

Рассмотренные многошаговые и одношаговые методы могут быть использованы также для решения задачи Коши системы дифференциальных уравнений.

Покажем, что для случая системы двух дифференциальных уравнений вида

где х - независимая переменная

Начальные условия y(x₀)=y₀, z(x₀)=z₀

Запишем решения данной системы с использованием метода Рунге-Кутта 4-го порядка

К решению систем дифференциальных уравнений сводятся также и задача Коши для уравнений высших порядков. Например, рассмотрим задачу Коши для уравнения второго порядка

где х – независимая переменная

Начальные условия y(x₀)=y₀, y’(x₀)=z₀

Для решения введем вторую неизвестную функцию

Тогда

y(x₀)=y₀, z(x₀)=z₀

Рассмотрим задачу Коши для однородного дифференциального уравнения n-го порядка

С начальными условиями

Задача сводится к решению задачи Коши для системы из n ОДУ первого порядка.

Обозначим

Тогда получаем систему

…

с начальными условиями …

8.4. Краевая задача

Задача называется краевой, если дополнительные условия, называемые краевыми или граничными, задаются при двух значениях независимой переменной (на концах рассматриваемого отрезка). Такие задачи получаются при решении уравнений высших порядков или систем уравнении.

Рассмотрим, например, линейное дифференциальное уравнение второго порядка

Граничные условия могут быть заданы в частном виде

Или в общем виде

Численные методы решения краевой задачи делятся на две группы:

1. Сведение решения краевой задачи к последовательности решений задач Коши (метод стрельбы)

2. Применение конечно-разностных методов

8.4.1. Метод стрельбы

Рассмотрим краевую задачу для уравнения второго порядка, разрешенного относительно второй производной

Решение будем искать на отрезке [0,1]. Любой отрезок [a,b] можно привести к этому отрезку путем замены переменных

Граничные условия на концах отрезка [0,1] примем в простейшем виде

Сущность метода стрельбы заключается в сведении краевой задачи к решению задачи Коши для того же уравнения с начальными условиями

,

где - точка на оси ординат (на оси y), в которую помещается начало искомой интегральной кривой,

α – угол наклона касательной к интегральной кривой в этой точке

Считая решение задачи Коши y=φ(x,α) зависящим от параметра α, будем искать такую интегральную кривую y=φ(x,α^*), которая выходит из точки и попадает в точку . Таким образом решение задачи Коши совпадает с решением краевой задачи.

При х=1, учитывая второе граничное условие , получаем

Следовательно, получим нелинейное уравнение, которое не смотря на отсутствие аналитического выражения для функции , являющегося решением задачи Коши, может быть решена одним из методов для решения нелинейного уравнения.

Например, при использовании метода половинного деления поступаем следующим образом

Решаем задачу Коши для некоторого начального значения α₀

Далее решаем задачу Коши для некоторого значения α₁

При этом значения и должны удовлетворять условию (принимать значения по разные стороны от у₁)

и

или

и

Решение задачи Коши – это значения в точках , где .

Далее решаем задачу Коши для

После чего отбрасываем один из двух отрезков [α₀,α₂], [α₂,α₁], оставляя тот из них, для концов которого функция , , принимают значения по разные стороны от у₁ и так далее до тех пор, пока

В этом случае последнее решение задачи Коши при значении будет принято за искомое решение краевой задачи.

Описанный алгоритм называется методом стрельбы вполне оправдано, поскольку в нем как бы проводится пристрелка и по углу наклона и интегральной кривой в начальной точке. Этот алгоритм хорошо работает, если решение не слишком чувствительно к изменению α, в противном случае мы можем столкнуться с неустойчивостью.