§ 34. «Берущиеся» и «неберущиеся»

ИНТЕГРАЛЫ

Как уже отмечалось выше, операция интегрирования функций значительно

сложнее операции дифференцирования функций. Не всегда

выбранный путь интегрирования является наилучшим, более коротким,

простым. Интегрирование часто может быть выполнено не единственным

способом . Многое зависит от знания рекомендуемых многих

искусственных приемов интегрирования, от сообразительности, от тренированности.

Например, J ~ можно найти, не используя реко-

cos х

мендуемую подстановку tg х = t, а применив искусственный прием:

/ ~ ='/ (cos2 х + sin

2 х)2 dx =

cos6 Х cos6 Х

/ (

1 tg2 х tg4 = х ) 2 1 --2- + 2--2- + --2- dx = tgx + -з tg3 Х + -5 tg5 х + с. cos х cos х cos х

Вряд ли стоит вычислять интеграл

/

Зх2 + 4х + 1 dx

х(х2 + 2х + 1) ,

разлагая подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Зх2 + 4х + 1

х(х2 + 2х + 1)

Зх2 + 4х + 1 А В С

= --;------:-:-;;-- = - + -- + .

х(х + 1)2 х х + 1 (х + 1)2

Заметив, что числитель Зх 2 + 4х + 1 является производной знаменателя

х(х2 + 2х + 1) = х3 + 2х2 + х, легко получить:

/

Зх2 + 4х + 1 d / d(x

3 + 2х2 + х) 1 I 3' 2 2 I с х = = n х + х +х + .

х(х2 + 2х + 1) х3 + 2х2 + х

На практике при вычислении неопределенных интегралов используют

различные справочники, содержащие таблицы особенно часто

встречающихся интегралов. В частности, «Таб.(IИЦЫ неопределенных

интегралоВ» М . л. Смолянского.

Изученные методы интегрирования позволяют во многих случаях

вычислить неопределенный интеграл, т. е. нafiти первообразную функцию

для подынтегральной функции.

Как известно, вся~ая непрерывная фун~'Цuя 'tI.Мeeт nеРбообразную.

В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функции

f(x) является также элементарной функцией, говорят, что / f(x) dx

«берется», т. е. интеграл выражается через элементарные функции

(или интеграл вычисляется). Если же интеграл не выражается через

элементарные функции, то говорят, что интеграл «не берется» (или

«его найти нельзя»).

Так,' например, нельзя взять интеграл / vx . cos х dx, так как не

существует элементарной функции, производная от которой была бы

равна vx cos х. Приведем еще примеры «неберущихея» интегралов, которые

имеют большое значение в приложениях:

/ е-х2 dx - интеграл Пуассона (теория вероятностей),

/ ,~Xx - интегральный логарифм (теория чисел),

9 Конепехт nеКЩtд по высшей M8ТeM8Т1f1Ce. ПолныR курс:

257

J cos х2 dx, J sin х2 dx - интегралы Френеля (физика),

J Si~X dx, J со;х dx - интегральные синус и косинус,

J ~ dx - интегральная показательная функция.

Первообразные от функции е- х2 , cos х2 , -11 и других хорошо изпх

учены, для них составлены подробные таблицы значений для различных

значений' аргумента х.

..,

Глава VIII., определенныи интеграл

I Лекции 29-33 I • § 35. ОГIРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ

ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ

Пусть функция у = f(x) определена на отрезке [а ; Ь],а < Ь. Выполним

следующие действия .

1. С помощью точек Ха = а, Xl, Х2, . .. , Х n = Ь (Ха < Хl < .. . < Хn )

разобьем отрезок [а, Ь] на n ~асmu-ч'Н:ых оmреЗ'ICов [Ха; Xl]' [Xl; Х2], ...

.. . ,[Xn-l'Х n] (см. рис. 166).

С; Х

1 l' 1 •1 •1 •1 •1 •1 •1 •1

о а=хо хl Х2 Xi-l Х; Ь=Х n

Рис. 166

2. В каждом частичном отрезке [Xi-l; Xi], i = 1,2, ... , n выберем

произвольную точку Ci Е [Xi-l; Xi] и вычислим значение функции в

ней, т. е. величину f(Ci).

3. Умножим найденное значение функции j(Ci) на длину D.Xi

= Х; - Xi-l соответствующего частичного отрезка: f(Ci) . D.xi·

4. Составим сумму Sn всех таких произведений :

n

Sn = f(Cl)D. Xl + f(C2)D. X2 + ... + f(cn)D.xn = L f(Ci)D.Xi ' (35.1)

i=1

~ Сумма вида (35.1) называется uнтегра.л:ьно1:t cYMMo1:t функции

у = f(x) на отрезке [а; Ь]. Обозначим через л длину наибольшего

частичного отрезка : л = тах D.Xi (i = 1,2, ... , n).

5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда n -* 00 так,

что л -* О .

~ Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел 1, который не

зависит ни от способа разбиения отрезка [а; Ь] на частичные отрезки,

ни от выбора точек в них, то число 1 называется оnределенн'bl.М

uнтеграло,м, от функции у = f(x) на отрезке [а ; Ь] и обозначается

ь J f(x) dx. Таким образом ,

а

ь n J f(x) dx = Iim '"' f(Ci)D.xi' n-too L.-J

(Л-+О) i=1

(35.2)

а

259

~ Числа а и Ь назьшаются соответственно нu;щ:нц.м и верхни,м,

nредела,м,и интегрирования, f(x) - noiJ'btHmezpaJtbHotJ

фуюсциеtJ, f(x) dx - nодынтегральны.м. выра:нсение,м" х - nереMeHHotJ

интегрирования, отрезок [а; Ь] - областью (отрез7СО,м,)

uнmегрuрованtLЯ.

~ Функция у = 1(х), для которой на отрезке [а; Ь] существует опредеь

ленный интеграл J f(x) dx, называется UHmezpupyeMotJ на этом

а

отрезке.

Сформулируем теперь теорему существования определенного интеграла.

Теорема 35.1 (Коши). Если функция у = f(x) непрерывна на отрезь

ке [а; Ь]. то определенный интеграл J 1(х) dx существует.

а

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием

ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать

и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой

ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число

точек разрыва.

у кажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно

вытекающие из его определения (35.2).

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения пере мен ной

интегрирования:

ь ь ь J f(x) dx = J f(t) dt = J f(z) dz.

а а а

Это следует из того, что интегральная сумма (35.1), а следовательно,

и ее предел (35.2) не зависят от того, какой буквой обозначается

аргумент данной функции.

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегриро-

вания равен нулю:

а J f(x)dx = о.

а

ь

3. Для любого действительного числа с: J cdx = с· (Ь - а).

а

260