Вопрос 25. Гармонические механические колебания. Дифференциальное уравнение и его решение. Энергия механических колебаний.

Колебательным движением (колебаниями) называют всякий процесс, который обладает свойством повторяемости во времени.

Периодическим называется движение, при котором физические величины, характеризующие колебательную систему, через равные промежутки времени принимают одни и те же значения.

При периодическом колебательном движение тело (материальная точка) перемещается вблизи устойчивого положения равновесия, отклоняясь то в одну, то в другую сторону. При этом через любую точку траектории, за исключением крайних, тело проходит как в прямом, так и в обратном направлении. Следовательно, отличительным признаком колебательного движения является его возвратность.

Например, механическим колебательным движением является: движение тела, подвешенного на нити (маятник), колебания тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник), колебания струн, вибрации фундаментов зданий.

Таким образом, отличительными признаками колебательного движения являются: 1) повторяемость движения; 2) возвратность движения (движение как в прямом, так и в обратном направлении).

Для существования механических колебаний необходимо:

• наличие силы, стремящейся возвратить тело в положение равновесия при малом смещении из этого положения;

• достаточно малое трение в системе, поскольку, в противном случае, колебания быстро затухнут или вообще не возникнут.

Гармонические колебания — это колебания, при которых координата (смещение) тела изменяется со временем по закону косинуса или синуса и описывается формулами:

или

Зависимость координаты от времени x(t) называется кинематическим законом гармонического колебания (законом движения).

Графически зависимость смещения колеблющейся точки от времени изображается косинусоидой (или синусоидой).

Пусть тело совершает гармонические колебания по закону (φ₀ = 0). На рисунке 2, а представлен график зависимости координаты x от времени t.

а

б

в

Рис. 2

Выясним, как изменяется проекция скорости колеблющейся точки со временем. Для этого найдем производную по времени от закона движения:

где — амплитуда проекции скорости на ось x.

Эта формула показывает, что при гармонических колебаниях проекция скорости тела на ось x изменяется тоже по гармоническому закону с той же частотой, с другой амплитудой и опережает по фазе смешение на π/2 (рис. 2, б).

Для выяснения зависимости ускорения a_x(t) найдем производную по времени от проекции скорости:

(1)

где — амплитуда проекции ускорения на ось x.

При гармонических колебаниях проекция ускорения опережает смещение по фазе на π (рис. 2, в).

Аналогично можно построить графики зависимостей x(t), υ_x(t) и a_x(t), если (φ₀ = 0).

Учитывая, что , из уравнения (1) для ускорения можно записать

т.е. при гармонических колебаниях проекция ускорения прямо пропорциональна смещению и противоположна ему по знаку, ускорение направлено в сторону, противоположную смещению. Данное соотношение можно переписать в виде

Последнее равенство называют уравнением гармонических колебаний.

Физическую систему, в которой могут существовать гармонические колебания, называют гармоническим осциллятором, а уравнение гармонических колебаний — уравнением гармонического осциллятора.

При механических колебаниях колеблющееся тело (или материальная точка) обладает кинетической и потенциальной энергией. Кинетическая энергия тела W:

(Скорость тела v = ds/dt)

        Для вычисления потенциальной энергии тела воспользуемся самой общей формулой, связывающей силу и потенциальную энергию тела в поле этой силы:

где U - потенциальная энергия, набираемая (или теряемая) телом, движущимся в силовом поле F от точки 0 (точки, в которой потенциальная энергия принимается равной 0) до точки х.

        Для силы, линейно зависящей от смещения (как в случае наших механических маятников, такие силы носят общее название квазиупругих сил) мы имеем: