9. Формула полной вероятности

Определение. Пусть событие А может произойти только совместно с одним из событий Н₁, Н₂,…, Н_n, образующих полную группу несовместных событий. Тогда события Н₁, Н₂,…, Н_n называются гипотезами.

Теорема. Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами Н₁, Н₂,…, Н_n, равна:

. где P(H_i) – вероятность i-той гипотезы, а P(A/H_i) – вероятность события А при условии реализации этой гипотезы. Формула носит название формулы полной вероятности.

Доказательство.

Можно считать событие А суммой попарно несовместных событий АН₁, АН₂,…, АН_n. Тогда из теорем сложения и умножения следует, что чтд

10. Формула Байеса (учебник)

Пусть событие B происходит одновременно с одним из n несовместных событий А₁, А₂,…, А_n. Требуется найти вероятность события А_i, если известно, что событие B произошло.

На основании теоремы о вероятности произведения двух событий

откуда

или - эта формула носит название формулы Байеса

10. Формула Байеса (лекции)

Пусть событие А произошло, В₁, В₂.., В_n- гипотезы. Тогда

Док-во: = Что и требовалось доказать.

11. Схема Бернулли. Теорема Бернулли. Теорема Пуассона.

Схема Бернулли одна из основных математических моделей для описания независимых повторений опытов, используемых в теории вероятностей:

1. Производится серия n независимых испытаний.

2. У каждого испытания 2 исхода: A - "успех" и - "неудача"

3. Вероятность "успеха" в каждом испытании одинакова и равна P(A) = p, а соответственно, вероятность "неудачи" также не меняется от опыта к опыту и равна .

Теорема Бернулли: Предположим, что проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события А постоянна и равна p (P(A)=p). Какова вероятность того, что событие А появится m раз в n испытаниях, т.е. P_n(m)

Доказать, что Рn(m)=

Док-во:

Элементарными исходами испытаний являются:

событие А_i – появление события А в i испытании: i=1,2,…,n;

событие – непоявление события А в i-ом испытании, где i=1,2,…,n.

Значит, Р(А_i)=p; Р( )=1-p=q

Тогда, Pn(m)=

Всего слагаемых

, где

В ряде случаев требуется определить вероятности появления события А менее m раз (Х<m), более M раз (X>m)б не менее m раз ( ), не более m раз ( ). В этих случаях могут быть использованы формулы:

Формула Пуассона

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит m раз, приближенно равна

Док-во: Пусть даны вероятность наступления события А в одном испытании р и число независимых испытаний n. Обозначим . Подставим это выражение в формулу Бернулли:

При достаточно большом n и сравнительно небольшом m все выражения в скобках, за исключением предпоследнего, можно принять равными единице, т.е.

. Учитывая то, что n достаточно велико, правую часть этого выражения можно рассмотреть при , т.е. найти предел

.

Тогда получим: