- •Лекция №1 (2 семестр)
- •Лекция №2 (2 семестр)
- •Лекция №3 (2 семестр)
- •Лекция №4 (2 семестр)
- •Лекция №5 (2 семестр)
- •Лекция №6 (2 семестр)
- •Лекция №7 (2 семестр)
- •Лекция №8 (2 семестр)
- •Лекция №9 (2 семестр)
- •Лекция №10 (2 семестр)
- •Лекция №11 (2 семестр)
- •Лекция №12 (II семестр)
- •Лекция №13 (II семестр)
- •Лекция №14 (II семестр)
- •Лекция №15 (II семестр)
- •Лекция №16 (II семестр)
- •Лекция №17 (II семестр)
- •Лекция №18 (II семестр)
- •Лекция №19 (II семестр)
- •Лекция №20 (II семестр)
- •Лекция №21 (II семестр)
- •Лекция №22 (II семестр)
- •Лекция №23 (II семестр)
- •Лекция №24 (II семестр)
- •Лекция №25 (II семестр)
- •Лекция №26 (II семестр)
Лекция №10 (2 семестр)
Тема: Правило Крамера. Обратная матрица.
Содержание:
Правило Крамера.
Если определитель системы отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. Пусть d – определитель этой системы.
,
.
Единственное решение этой системы вычисляется по формулам:
Доказательство:
Утверждение: Сумма произведений элементов каждой строки определителя (скажем, i-ой) на алгебраические дополнения элементов какой–либо другой строки (скажем, j-ой) равна нулю.
Доказательство:
Вычислим этот определитель, применяя теорему Лапласа к i-ой строке
(1)
Подставим вместо в обе части выражения (1) элементы j-ой строки, и получим:
Пусть – алгебраическое дополнение элемента в определителе d. Раскладывая определитель d с индексом по элементам j-того столбца, получим:
Подставим выражения в какое-нибудь, скажем, k-ое выражение системы. Будем иметь:
Обратная матрица.
Пусть А – невырожденная матрица, т.е. , тогда существует матрица, обозначаемая , такая, что .
Используя понятие определителя, можно указать явный вид элементов обратной матрицы через миноры матрицы А.
.
Для доказательства достаточно перемножить А и .
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.
Лекция №11 (2 семестр)
Тема: Определитель произведения квадратных матриц.
Содержание:
Определитель произведения квадратных матриц.
Теорема: Определитель произведения квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц.
Доказательство: Пусть
, .
Рассмотрим определитель порядка :
Вычислим определитель другим способом: преобразуем его так, чтобы в правом нижнем углу стояли 0. К -му столбцу прибавим первый, умноженный на , второй, умноженный на и т.д., n-й, умноженный на . К -му столбцу прибавим первый, умноженный на , второй, умноженный на и т.д., n-й, умноженный на и т.д. К столбцу с номером прибавим первый, умноженный на , второй, умноженный на и т.д., n-ый, умноженный на . Получим определитель:
Преобразуем полученный определитель следующим образом: поменяем местами первую строку с , и т.д., n-ую с -ой. В результате получится определитель:
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.