- •Лекция №1 (2 семестр)
- •Лекция №2 (2 семестр)
- •Лекция №3 (2 семестр)
- •Лекция №4 (2 семестр)
- •Лекция №5 (2 семестр)
- •Лекция №6 (2 семестр)
- •Лекция №7 (2 семестр)
- •Лекция №8 (2 семестр)
- •Лекция №9 (2 семестр)
- •Лекция №10 (2 семестр)
- •Лекция №11 (2 семестр)
- •Лекция №12 (II семестр)
- •Лекция №13 (II семестр)
- •Лекция №14 (II семестр)
- •Лекция №15 (II семестр)
- •Лекция №16 (II семестр)
- •Лекция №17 (II семестр)
- •Лекция №18 (II семестр)
- •Лекция №19 (II семестр)
- •Лекция №20 (II семестр)
- •Лекция №21 (II семестр)
- •Лекция №22 (II семестр)
- •Лекция №23 (II семестр)
- •Лекция №24 (II семестр)
- •Лекция №25 (II семестр)
- •Лекция №26 (II семестр)
Лекция №4 (2 семестр)
Тема: Теорема о разложении евклидово пространства в прямую сумму. Длина, углы и расстояния в евклидовом пространстве.
Содержание:
Теорема: Пусть Е – евклидово пространство, а L – произвольное его подпространство. Тогда Е можно представить в виде: .
Доказательство: В подпространствах L и выберем ортонормированные базисы, пусть
(1) – ортонормированный базис L .
(2) – ортонормированный базис .
Рассмотрим (3)
Чтобы убедится в справедливости теоремы, достаточно показать, что система (3) – базис Е.
Система (3) – ортонормированна, и, как и всякая ортогональная система, линейно независима.
Осталось показать, что линейная оболочка векторов системы (3) совпадает со всем евклидовым пространством Е.
Пусть это не так, тогда найдется вектор , а тогда найдется и вектор , ортогональный каждому из векторов системы (3) .
Так как вектор ортогонален ко всем векторам системы (3) то он, в частности, ортогонален всем векторам системы (1), следовательно, он ортогонален ко всему подпространству L, то есть содержится в , так как ортогонален ко всем векторам системы (3) то он, в частности, ортогонален всем векторам системы (2), т.е. он ортогонален ко всему , следовательно, он ортогонален себе , следовательно, . Полученное противоречие показывает, что линейная оболочка векторов системы (3) совпадает с Е и (3) – базис Е.
Пусть в евклидовом пространстве Е зафиксирована система векторов , если ранг этой системы равен размерности евклидова пространства Е и вектор ортогонален ко всем векторам этой системы, то этот вектор – нулевой. Имеет место и обратное утверждение:
Лемма: Если в евклидовом пространстве Е задана некоторая система векторов и единственным вектором, ортогональным ко всем векторам системы, является нулевой, то ранг этой системы равен размерности евклидова пространства Е.
Доказательство: Пусть , , но с другой стороны, ,
Длины, углы и расстояния.
Определение: Пусть Е – евклидово пространство, – произвольное его элемент, тогда длиной вектора называется . У каждого вектора из Е длина существует, причем по аксиоме 4 она положительна для ненулевого вектора и равна нулю для .
Для любого действительного числа и любого вектора из Е:
Определение: Для векторов и из Е углом между ними называется угол, определяемый соотношением:
Рассмотрим произвольный треугольник в Е. Из теоремы косинусов вытекает, что:
(1)
В евклидовом пространстве Е длина стороны треугольника не превышает суммы двух длин других его сторон, но не меньше абсолютной величины разности этих сторон.
Определение: Расстоянием между векторами и из Е называется длина вектора : (2).
Расстояние обладает следующими свойствами:
1)
2)
3) – неравенство треугольника.
Доказательство:
Свойства 1 и 2 вытекают из определения.
Свойство 3 получается если в первом уравнении системы (1) произвести замену: ,
Утверждение: Пусть в Е выбран ортонормированный базис .
Вектор имеет разложение , а вектор : .
Тогда:
Длина вектора вычисляется по формуле: ,
А угол между векторами и :
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.