![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Лекция №1 (2 семестр)
- •Лекция №2 (2 семестр)
- •Лекция №3 (2 семестр)
- •Лекция №4 (2 семестр)
- •Лекция №5 (2 семестр)
- •Лекция №6 (2 семестр)
- •Лекция №7 (2 семестр)
- •Лекция №8 (2 семестр)
- •Лекция №9 (2 семестр)
- •Лекция №10 (2 семестр)
- •Лекция №11 (2 семестр)
- •Лекция №12 (II семестр)
- •Лекция №13 (II семестр)
- •Лекция №14 (II семестр)
- •Лекция №15 (II семестр)
- •Лекция №16 (II семестр)
- •Лекция №17 (II семестр)
- •Лекция №18 (II семестр)
- •Лекция №19 (II семестр)
- •Лекция №20 (II семестр)
- •Лекция №21 (II семестр)
- •Лекция №22 (II семестр)
- •Лекция №23 (II семестр)
- •Лекция №24 (II семестр)
- •Лекция №25 (II семестр)
- •Лекция №26 (II семестр)
Лекция №16 (II семестр)
Тема: Необходимое и достаточное условие эквивалентности матриц.
Содержание:
Эквивалентные матрицы.
Две
матрицы, А и В, одинаковых размеров,
называются эквивалентными,
если существуют две невырожденные
матрицы R
и S,
такие, что
(1).
Пример: Две матрицы, соответствующие одному и тому же оператору при различных выборах базисов в линейных пространствах X и Y эквивалентны.
Ясно, что отношение, определенное на множестве всех матриц одного размера с помощью вышеприведенного определения является отношением эквивалентности.
Теорема 8: Для того, чтобы две прямоугольные матрицы одинаковых размеров были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы они были одного ранга.
Доказательство:
1.
Пусть А и В – две матрицы,, для которых
имеет смысл
.
Ранг произведения (матрицы С) не выше
ранга каждого из сомножителей.
,
(2)
(3)
Мы
видим, что k-ый
столбец матрицы С является линейной
комбинацией векторов столбцов матрицы
А и это выполняется для всех столбцов
матрицы С, т.е. для всех
.
Т.о.
,
т.е.
– подпространство линейного пространства
.
Так
как
и так как размерность подпространства
меньше или равна размерности пространства,
то ранг матрицы С меньше или равен рангу
матрицы А.
В равенствах (2) зафиксируем индекс i и будем придавать k всевозможные значения от 1 до s. Тогда получим систему равенств, аналогичную системе (3):
(4)
Из равенств (4) видно, что i-я строка матрицы С является линейной комбинацией строк матрицы В для всех i, а тогда линейная оболочка, натянутая на строки матрицы С, содержится в линейной оболочке, натянутой на строки матрицы В, а тогда размерность этой линейной оболочки меньше или равна размерности линейной оболочки векторов строк матрицы В, значит, ранг матрицы С меньше или равен рангу матрицы В.
2.
Ранг произведения матрицы А слева и
справа на невырожденную квадратную
матрицу Q
равен рангу матрицы А.(
).
Т.е. ранг матрицы С равен рангу матрицы
А.
Доказательство:
Согласно доказанному в случае (1)
.
Так как матрица Q
– невырожденная, то для нее существует
:
и в соответствии с доказанным в предыдущем
утверждении
.
3. Докажем, что если матрицы эквивалентны, то они имеют одинаковые ранги. По определению, А и В эквивалентны, если существуют такие R и S, что . Так как при умножении А слева на R и справа на S получаются матрицы того же ранга, как доказано в пункте (2), ранг А равен рангу В.
4.
Пусть матрицы А и В одинакового ранга.
Докажем, что они эквивалентны. Рассмотрим
,
.
Пусть X и Y – два линейных пространства, в которых выбраны базисы (базис X) и (базис Y). Как известно, любая матрица вида определяет некоторый линейный оператор, действующий из X в Y.
Так
как r
– ранг матрицы А, то среди векторов
в точности r
линейно независимых. Не ограничивая
общности, можно считать, что
– первые r
векторов – линейно независимы. Тогда
все остальные через них линейно
выражаются, и можно записать:
(6)
Определим
в пространстве X
новый базис
,
следующим образом:
.
(7)
Новый базис в пространстве Y следующим образом:
.
Векторы
,
по условию, линейно независимы. Дополним
их некоторыми векторами
до базиса Y:
(8).
Итак (7) и (8) – два новых базиса X
и Y.
Найдем матрицу оператора А в этих
базисах:
Итак, в новой паре базисов матрицей оператора А является матрица J. Матрица А изначально была произвольной прямоугольной матрицей вида , ранга r. Так как матрицы одного и того же оператора в разных базисах эквивалентны, то этим показано, что любая прямоугольная матрица вида ранга r эквивалентна J. Так как мы имеем дело с отношением эквивалентности, этим показано, что любые две матрицы А и В вида и ранга r, будучи эквивалентны матрице J эквивалентны между собой.
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.