- •Лекция №1 (2 семестр)
- •Лекция №2 (2 семестр)
- •Лекция №3 (2 семестр)
- •Лекция №4 (2 семестр)
- •Лекция №5 (2 семестр)
- •Лекция №6 (2 семестр)
- •Лекция №7 (2 семестр)
- •Лекция №8 (2 семестр)
- •Лекция №9 (2 семестр)
- •Лекция №10 (2 семестр)
- •Лекция №11 (2 семестр)
- •Лекция №12 (II семестр)
- •Лекция №13 (II семестр)
- •Лекция №14 (II семестр)
- •Лекция №15 (II семестр)
- •Лекция №16 (II семестр)
- •Лекция №17 (II семестр)
- •Лекция №18 (II семестр)
- •Лекция №19 (II семестр)
- •Лекция №20 (II семестр)
- •Лекция №21 (II семестр)
- •Лекция №22 (II семестр)
- •Лекция №23 (II семестр)
- •Лекция №24 (II семестр)
- •Лекция №25 (II семестр)
- •Лекция №26 (II семестр)
Лекция №14 (II семестр)
Тема: Кольцо линейных операторов. Группа невырожденных операторов. Матрица линейного оператора. Связь между линейными операторами и линейными алгебраическими уравнениями.
Содержание:
Кольцо операторов.
Рассмотрим три линейных пространства X, Y, Z над одним и тем же полем Р. Пусть линейный оператор , . Отображение С, действующее из X в Z, называется произведением операторов В и А и обозначается , если .
Покажем, что отображение С является линейным оператором.
Заметим, что введенная операция умножения не является алгебраической, поскольку произведение операторов определено не для каждой пары, но в случае, когда о произведении операторов говорить имеет смысл, справедливы следующие свойства:
1.
2.
3.
4.
Эти свойства выполняются для и .
Доказательство: Пусть , и поскольку
,
то первое свойство доказано. Аналогично доказываются остальные свойства.
Рассмотрим множество всех линейных операторов, действующих из X в X. Тогда для любых двух операторов, принадлежащих , определена и сумма и произведение. Согласно свойствам 3 и 4, обе эти операции связаны дистрибутивными законами, кроме того, умножение ассоциативно, существует единичный оператор (Е), относительно сложения это множество – абелева группа., следовательно, справедлива теорема.
Теорема : Множество является ассоциативным кольцом с единицей.
Определение: Если для некоторых элементов А и В из множества выполняется , то операторы А и В называются перестановочными, или коммутативными. В частности, единичный оператор перестановочен с любым оператором.
Так как кольцо линейных операторов является также и линейным пространством, то для разности двух линейных операторов справедлива формула: .
Группа невырожденных операторов.
Определение: Линейный оператор называется невырожденным, если его ядро состоит только из нулевого вектора. В противном случае оператор называется вырожденным.
Примеры:
1. Тождественный оператор является невырожденным.
2. Скалярный оператор при является невырожденным оператором.
3. Произвольный линейный оператор раскладывает . Оператор А порождает новый оператор, . Оператор определяется по такому правилу: на своей области определения он совпадает с оператором А. ( – сужение А на ). – невырожденный оператор.
Для невырожденных операторов дефект равен 0, а так как:
, следовательно, для невырожденных линейных операторов, действующих из X в X, ранг совпадает с размерностью всего пространства X. Если оператор является невырожденным, следовательно, , т.е. любой вектор линейного пространства X является образом некоторого вектора из этого же пространства, т.е. невырожденный оператор всегда является сюръективным отображением.
Важным свойством невырожденного оператора является единственность прообраза для любого вектора . В самом деле, если , то , .
Таким образом, множество невырожденных операторов, принадлежащих – множество изоморфизмов, действующих из X в X.
Рассмотрим , пусть – множество всех невырожденных операторов.
Теорема 5: Множество W является группой по умножению.
Доказательство: Проверим справедливость аксиом группы.
1. Замкнутость. Нужно показать, что произведение двух невырожденных операторов есть невырожденный оператор.
Пусть . Рассмотрим .
2. Ассоциативность уже доказана для любых линейных операторов.
3. Существование нейтрального элемента. Тождественный оператор Е, выполняющий роль единицы относительно операции умножения операторов, очевидно, невырожден.
4. Существование обратного. Пусть , , тогда положим, что . Так как оператор А – изоморфизм, то А – биективное отображение X на X, и, в частности, оно сюрьективно, следовательно, оператор – определен. Так как А – инъективен, то – также является отображением.
Докажем, что – линейный и невырожденный оператор.
Покажем сначала, что :
:
Покажем, что – линейный оператор.
Для
Так как А – невырожденный, то
.
Осталось показать, что – невырожденный.
Рассмотрим . , .
Пусть . Для любого целого положительного числа p можно говорить о степени: . Для любых целых положительных p и q: . По определению будем считать, что .
Пусть А – невырожденный оператор, тогда для любого целого положительного числа r, – тоже невырожденный оператор, а тогда для него существует обратный оператор:
По определению положим, что .
Рассмотрим произвольный невырожденный оператор А и множество . Произведение любых двух элементов из множества является элементом из этого же множества, т.е. это множество замкнуто относительно операции умножения операторов, выполняются все аксиомы группы и эта группа – абелева. Все элементы этой группы являются степенями фиксированного элемента А, поэтому – циклическая группа, порожденная оператором А.
Матрица оператора.
Теорема 6: Пусть X, Y – два линейных пространства над полем Р, , . Пусть далее (1) – базис X, и базисным векторам каким-то образом поставлены в соответствие векторы (2) – из Y. Тогда .
Доказательство: Предположим, что искомый оператор А существует, пусть , тогда единственным образом разложим по базису:
(1)
(2)
Правая часть равенства (2) однозначно определяется вектором и образами базисных векторов. Определим искомый оператор так: пусть дано (1). Положим равное (2). Очевидно, что .
Пусть в линейном пространстве X задан базис , а в Y – , а также задан линейный оператор .
Подействуем оператором А на базисные векторы и найдем разложение образов этих базисных векторов в виде линейной комбинации базисных векторов пространства Y,т.е.
Матрица называется матрицей линейного оператора А в выбранных базисах линейных пространств X и Y.
Пусть вектор , а вектор . Тогда эти векторы можно разложить по соответствующим базисам: , (1).
Сравнивая правую часть этого равенства с разложением (1), получим:
.
(2), (2')
Формулы (2) дают возможность по известным координатам вектора и матрице оператора вычислить координаты вектора , а также обратно, зная координаты вектора и матрицу оператора , решив систему линейных уравнений (2), можно найти координаты вектора . Соотношение (2) устанавливает связь между линейными операторами и системами линейных алгебраических уравнений, в частности, ранг матрицы оператора совпадает с рангом оператора, а размерность ядра совпадает с числом фундаментальных решений приведенной однородной системы уравнений, соответствующей системе (2).
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.