![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Лекция №1 (2 семестр)
- •Лекция №2 (2 семестр)
- •Лекция №3 (2 семестр)
- •Лекция №4 (2 семестр)
- •Лекция №5 (2 семестр)
- •Лекция №6 (2 семестр)
- •Лекция №7 (2 семестр)
- •Лекция №8 (2 семестр)
- •Лекция №9 (2 семестр)
- •Лекция №10 (2 семестр)
- •Лекция №11 (2 семестр)
- •Лекция №12 (II семестр)
- •Лекция №13 (II семестр)
- •Лекция №14 (II семестр)
- •Лекция №15 (II семестр)
- •Лекция №16 (II семестр)
- •Лекция №17 (II семестр)
- •Лекция №18 (II семестр)
- •Лекция №19 (II семестр)
- •Лекция №20 (II семестр)
- •Лекция №21 (II семестр)
- •Лекция №22 (II семестр)
- •Лекция №23 (II семестр)
- •Лекция №24 (II семестр)
- •Лекция №25 (II семестр)
- •Лекция №26 (II семестр)
Лекция №20 (II семестр)
Тема:Инвариантные подпространства. Операторный многочлен. Приведение матрицы оператора к треугольной форме.
Содержание:
Инвариантное подпространство.
Оператор А действует в комплексном линейном пространстве X.
Определение:
Подпространство L
линейного пространства X
называется инвариантным по отношению
к оператору А, если
.
Нулевое подпространство и все пространство
X
являются инвариантными относительно
любого линейного оператора, действующего
в X.
Эти подпространства называются
тривиальными инвариантными
подпространствами.
Примеры:
1.
Пусть
,
.
Рассмотрим
,
L
– инвариантно относительно этого
оператора.
2.
Пусть
– ядро оператора,
– образ этого оператора,
,
и
– инвариантны относительно А. Эти
подпространства (
и
)
тривиальны тогда, и только тогда, когда
оператор А либо невырожден, либо нулевой.
3. Для любого оператора , любое его собственное подпространство является инвариантным относительно этого оператора.
Так как в комплексном линейном пространстве любой оператор имеет хотя бы один собственный вектор, то каждый оператор в этом пространстве имеет хотя бы одно не тривиальное инвариантное подпространство.
Пусть
,
,
,
и пусть L
– инвариантное подпространство. Выберем
в L
базис
и дополним его до базиса X
векторами
.
Построим матрицу оператора А в этом
базисе:
Пусть
линейное пространство представимо в
виде прямой суммы
и L,
M
– инвариантны относительно оператора
А. В этом случае говорят, что X
разложимо в прямую сумму своих инвариантных
подпространств.
Выберем – базис L, – базис M. В этом случае матрица оператора имеет вид:
.
Определение:
Пусть
,
L
– инвариантно относительно А. Оператор
,
действующий на инвариантном подпространстве
L
называется индуцированным оператором,
порожденным оператором А, если
.
Так как имеет по крайней мере, один собственный вектор, и совпадает с оператором А на подпространстве L, то любой линейный оператор в каждом инвариантном подпространстве имеет хотя бы один собственный вектор.
Теорема 12: Характеристический многочлен индуцированного оператора, порожденного оператором А на нетривиальном подпространстве, является делителем характеристического многочлена порождающего оператора.
Доказательство:
Рассмотрим базис линейного пространства
X:
,
где
– базис подпространства L.
– матрица оператора А в этом базисе.
– матрица индуцированного оператора
.
– характеристический многочлен оператора А
– характеристический
многочлен оператора
.
Определение
всех собственных значений оператора А
сводится к нахождению всех корней
характеристического многочлена этого
оператора. Если оператор А имеет
нетривиальное инвариантное подпространство,
то по теореме 12 задача нахождения
собственных значений оператора А
сводится к нахождению корней двух
многочленов:
и
,
степеней меньших, чем степень
характеристического уравнения оператора
А.
Операторный многочлен.
Пусть
линейный оператор А действует в
комплексном линейном пространстве X
и пусть
(1)
– произвольный многочлен над полем
комплексных чисел. Рассмотрим линейный
оператор:
(2)
– этот оператор
тоже действует в X.
Определение: Оператор (2) называется операторным многочленом от оператора А.
Пусть
Р – произвольное поле. Рассмотрим
множество
всевозможных многочленов от одной
переменной с коэффициентами из поля Р.
Как известно, в
можно определить операцию сложения
,
умножения
и относительно этих операций множество
будет являться коммутативным кольцом
с единицей.
Пусть
– поле комплексных чисел. Тогда
– множество всех многочленов от одной
переменной с комплексными коэффициентами.
Зафиксируем некоторый оператор
и каждому многочлену
поставим в соответствие операторный
многочлен
.
Мы получим множество всех операторных
многочленов, соответствующих оператору
А и это множество также является
коммутативным кольцом с единицей.
В этом кольце в частности выполняется равенство:
Лемма
1:
Пусть
линейный оператор
А действует
из
X
в
X,
– некоторый
многочлен с комплексными коэффициентами,
– операторный
многочлен
и
пусть
– область
значений операторного многочлена
.
Область значений является подпространством линейного пространства X, инвариантным относительно оператора А.
Доказательство:
Пусть вектор
,
это означает, что существует вектор
,
такой, что
,
проверим, будет ли
.
Лемма
2:
Пусть
линейный оператор
А действует
из
X
в
X,
– некоторый
многочлен с комплексными коэффициентами,
– операторный
многочлен
и
пусть
–
ядро операторного многочлена является
подпространством
линейного
пространства
X,
инвариантного
относительно оператора
А.
Доказательство:
Лемма
3:
Пусть
линейный оператор
,
– произвольный
многочлен с комплексными коэффициентами.
Если собственное
значение
оператора
А является
корнем многочлена
,
то
все собственные
векторы
оператора
А, соответствующие
этому собственному значению, принадлежат
ядру операторного многочлена
.
Доказательство:
,
тогда
Лемма 4: Пусть линейный оператор , – произвольный многочлен с комплексными коэффициентами. Если собственное значение оператора А не является корнем многочлена , то все собственные векторы оператора А, соответствующие этому собственному значению, принадлежат образу операторного многочлена .
Доказательство:
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.