- •Лекция №1 (2 семестр)
- •Лекция №2 (2 семестр)
- •Лекция №3 (2 семестр)
- •Лекция №4 (2 семестр)
- •Лекция №5 (2 семестр)
- •Лекция №6 (2 семестр)
- •Лекция №7 (2 семестр)
- •Лекция №8 (2 семестр)
- •Лекция №9 (2 семестр)
- •Лекция №10 (2 семестр)
- •Лекция №11 (2 семестр)
- •Лекция №12 (II семестр)
- •Лекция №13 (II семестр)
- •Лекция №14 (II семестр)
- •Лекция №15 (II семестр)
- •Лекция №16 (II семестр)
- •Лекция №17 (II семестр)
- •Лекция №18 (II семестр)
- •Лекция №19 (II семестр)
- •Лекция №20 (II семестр)
- •Лекция №21 (II семестр)
- •Лекция №22 (II семестр)
- •Лекция №23 (II семестр)
- •Лекция №24 (II семестр)
- •Лекция №25 (II семестр)
- •Лекция №26 (II семестр)
Лекция №2 (2 семестр)
Тема: Теорема о существование ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации.
Содержание:
Утверждение: Пусть базис евклидова пространства Е ортонормирован. Тогда для любого вектора существует единственная запись в виде:
(2) , причем .
Доказательство: Рассмотрим скалярное произведение:
Умножая обе части равенства (2) на , получим и т.д.
Пусть – ортонормированный базис и пусть векторы:
Тогда скалярное произведение вычисляется по формуле:
, .
Теорема: В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Доказательство: Пусть система (3) – ортонормированна и максимальна в том смысле, что если вектор , то . Докажем, что это базис.
Так как система ортонормированна, то она, в частности, ортогональна, а любая ортогональная система линейно независима.
Осталось показать, что любой вектор евклидова пространства Е является линейной комбинацией векторов системы (3) .
Рассмотрим
..................................................
Мы показали, что , , ... Но система (3) максимальна и единственным вектором с таким свойством является , следовательно, и , то есть
Процесс ортогонализации.
Теорема: Пусть Е – произвольное евклидово пространство, а (1) – некоторая линейно независимая система векторов пространства Е. Тогда существует алгоритм, переводящий систему (1) в ортонормированную систему.
Доказательство:
1) Пусть , ясно, что .
2) Пусть . Ищем таким, чтобы .
, , . Отметим, что
3) Пусть . Коэффициенты и находим из условия, что
.
И также отметим, что .
Продолжая рассуждения, в конце концов найдем, что
,
Нами построена ортогональная система векторов , эквивалентная . Нормируя каждый из векторов , мы получим ортонормированную систему, эквивалентную исходной.
Следствие: Всякое конечномерное евклидово пространство обладает ортонормированным базисом. В самом деле, взяв любой базис Е и применив к нему процесс ортогонализации, получим ортонормированную систему, эквивалентную исходной.
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.
Лекция №3 (2 семестр)
Тема: Необходимые и достаточные условия ортогональности вектора и подпространства. Ортогональные и прямые суммы.
Содержание:
Определение: Пусть Е – евклидово пространство, а F и G – любые два его подмножества. Множества F и G называются ортогональными, если каждый элемент множества F ортогонален всем элементам множества G ( ), если элемент X множества М ортогонален этому множеству, то Х – нулевой.
Лемма: Для того, чтобы вектор X из евклидова пространства Е был ортогонален некоторому подпространству L этого пространства, необходимо и достаточно, чтобы он был ортогонален всем векторам базиса подпространства L.
Доказательство:
1) Пусть – тогда он ортогонален всем векторам из L, и, в частности, базисным.
2) Пусть – какой-либо базис L и скалярное произведение . Рассмотрим произвольный вектор , принадлежащий L: его можно представить в виде: , но .
Следствие: Для того, чтобы два подпространства L1 и L2 евклидова пространства Е были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы каждый вектор некоторого базиса подпространства L1 был ортогонален всем векторам какого–либо базиса L2.
Определение: Пусть дано k подпространств евклидова пространства Е: . Сумма этих подпространств называется ортогональной, если любые два , ортогональны, и обозначается .
Лемма: Ортогональная сумма ненулевых подпространств всегда является их прямой суммой.
Доказательство: Выберем в каждом из по ортонормированному базису:
(1)
Покажем, что (1) является базисом М.
В силу выбора базисов как ортонормированных система (1) ортогональна, следовательно, линейно независима.
Берем любой из М, ( ). – линейная комбинация векторов системы (1). М – прямая сумма подпространств .
Следствие: Пусть евклидово пространство Е является ортогональной суммой своих подпространств и пусть векторы и , . Тогда скалярное произведение определяется по формуле: .
Определение: Пусть F – произвольное непустое подмножество евклидова пространства Е. Обозначим через – ортогональное дополнение множества F, очевидно, что любого непустого множества является подпространством.
В самом деле:
Пусть , .
, следовательно, .
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.