Лекция №23 (II семестр)
Тема:Жорданова форма матрицы.
Содержание:
Матричная интерпретация разложения линейного пространства X в прямую сумму корневых подпространств.
Пусть , и пусть:
– базис
– базис
......................
– базис
.
Тогда матрица линейного оператора А в этом базисе имеет вид:
,
где
– квадратные матрицы порядка
.
Жорданова форма матрицы.
Пусть – характеристический многочлен оператора А и пусть , где – ядро оператора .
Займемся выбором базиса в каждом из корневых подпространств. Рассмотрим корневое подпространство .
Определение:
Высотой
корневого
вектора
называется наименьшее число n,
такое, что
.
Все корневые векторы, соответствующие собственному значению имеют высоты, не превосходящие кратности корня , т.е. имеют высоты, меньше, либо равные .
Пусть
t
– максимальная высота корневых векторов
из
,
.
Если
вектор
имеет высоту k,
то вектор
имеет высоту
.
Поэтому в корневом подпространстве
имеются векторы всех высот от 0 до t.
Для
любого
буквой
обозначим множество всех векторов
,
таких, что
.
(
)
Лемма 1: является подпространством корневого пространства .
Доказательство:
Пусть
Возьмем
произвольные
,
тогда:
– подпространство
корневого пространства
.
Очевидно, что справедлива лемма:
Лемма
2:
,
.
Пусть
– произвольные линейно независимые
векторы из
,
линейная оболочка которых в прямой
сумме с подпространством
дает все подпространство
,
которое совпадает с
.
Ясно, что это будут корневые векторы
высоты t,
,
и никакая линейная комбинация векторов
не принадлежит подпространству
.
Лемма 3: Рассмотрим следующую систему векторов:
(1)
Система (1) линейно независима.
Доказательство: Пусть
Применим
к обеим частям последнего равенства
оператор
.
В
силу указанных высот линейная комбинация
под действием оператора
отобразится в нулевой вектор. Т.о., высота
вектора
меньше или равна
.
Это может быть лишь тогда, когда все
коэффициенты
.
Подействуем
на обе части этого же равенства оператором
и, аналогичным образом, получим, что
и т.д.
В силу выбора векторов никакая ненулевая линейная комбинация векторов, стоящих в i-ой строке таблицы (1) не принадлежит подпространству .
Дополним
векторы
,
... ,
такими векторами
,
...,
из
подпространства
,
чтобы вся совокупность была линейно
независимой и ее линейная оболочка в
прямой сумме с подпространством
давала
.
Это будут корневые векторы высоты
,
.
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.
Лекция №24 (II семестр)
Тема: Жорданова форма матрицы.
Содержание:
Никакая линейная комбинация построенной системы векторов не принадлежит подпространству . Рассмотрим совокупность векторов:
(2)
По
лемме 3 система (2) линейно независима,
кроме того, никакая ненулевая линейная
комбинация векторов i-ой
строки таблицы (2) не принадлежит
подпространству
.
Аналогичным
образом переходим к подпространствам
,
и т.д. Мы получили систему из
векторов, принадлежащих корневому
подпространству
.
Таблицы 1, 2, ... заканчиваются таблицей,
состоящей из одной строки:
.
Эти векторы принадлежат пространству
,
т.е. являются собственными,
.
Расположим таблицы последовательно слева направо и введем переобозначение:
(4)
Векторы,
стоящие в первой строке, имеют высоту
,
во второй –
,
и т.д., в последней – 1. Т.е. векторы,
стоящие в 1 последовательной строке
оператором
переводятся в нулевой вектор.
Каждый
столбец таблицы определяет инвариантное
подпространство оператора
,
и, следовательно, инвариантное
подпространство оператора А. Это
подпространство называется циклическим.
Первые
столбцов таблицы определяют
циклических подпространств размерности
t,
следующие
столбцов определяют
инвариантных относительно оператора
А циклических подпространств размерности
,
и т.д. Последние столбцы определяют
одномерные циклические подпространства.
Их
.
Все корневое подпространство
является прямой суммой циклических
подпространств.
Напишем
матрицу оператора, индуцированного
оператором А в циклическом подпространстве:
пусть например, в качестве базиса взяты
векторы
.
Найдем:
,
,
,
...,
,
откуда следует, что
,
Определение:
Матрица вида
называется жордановой клеткой или
жордановым ящиком.
Построим матрицу оператора А, действующего в линейном пространстве X, беря в качестве базиса последовательное объединение базисов корневых подпространств , а в качестве базиса каждого корневого подпространства возьмем векторы таблицы (4), упорядоченные подряд снизу вверх и слева направо. Такой базис корневого подпространства называется корневым, а объединение корневых базисов, т.е. базис пространства X, построенный таким образом, называется каноническим. В каноническом базисе матрица оператора имеет вид:
Она называется жордановой формой матрицы.
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.