2. Непрерывное наращение и дисконтирование. Непрерывные проценты

В практических финансово-кредитных операциях непрерывное наращение, т.е. наращение за бесконечно малые отрезки времени, применяется крайне редко. К таким примерам относится случай, если капитализация процентов осуществляется достаточно часто, например, ежедневно.

Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например, при обосновании и выборе инвестиционных решений, в финансовом проектировании.

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки - силу роста. Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени.

При дискретном начислении процентов m раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма определяется по уравнению:

При m стремящемся к бесконечности как для любого случайного числа x существует предел

где e = 2,718281828... — основание натуральных логарифмов. Эта формула называется вторым замечательным пределом. Следовательно, именем:

Для того, чтобы отличить непрерывную ставку от дискретной, силу роста обозначают, как δ, тогда:

Дискретные и непрерывные ставки наращения находятся в функциональной зависимости между собой. Из равенства множителей наращения (1+r_c)ⁿ=e^δ следует:

Пример 1.

Номинальная процентная ставка по вкладу составляет 18%, но капитализация процентов осуществляется ежедневно (m = 365). Определить эффективную процентную ставку.

Решение.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. На первоначальный капитал в сумме 3000 у.е. начисляются сложные проценты – 15 годовых в течение 3 лет. Определить наращенную сумму, если проценты начисляются непрерывно.

Задача 2. Получен кредит в размере 100 млн. руб. сроком на 3 года под 8% годовых (сложные проценты). Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться:

а) один раз в год;

б) ежедневно;

в) непрерывно.

2. Средние ставки процентов

В условиях нестабильной экономики банки и другие кредиторы с целью снижения своего процентного риска могут устанавливать переменные ставки процентов для различных финансовых операций. Вспомним, что аналогом процентной ставки в статистике является показатель “темп прироста”. При начислении простых процентов следует говорить о базисных темпах прироста, т.к. первоначальная сумма P остается неизменной. Данная задача в статистических терминах может быть интерпретирована как сложение базисных темпов прироста с последующим умножением на первоначальную сумму займа. Общая формула расчета будет иметь следующий вид:

- для простой процентной ставки:

− для простой учтенной ставки:

В данных формулах r_sj и d_sj – переменные простые процентные и учетные ставки j-того периода расчете процентов; n_j – временная продолжительность j-того периода расчете процентов; N общее число периодов j, в течение которых проценты начисляются по неизменной ставке.

Соответственно для сложных процентов, речь пойдет уже не о базисных, а о цепных темпах прироста, которые должны не складываться, а перемножаться:

• для сложной процентной ставки:

• для сложной учетной ставки:

В данных формулах r_sj и d_sj – переменные сложные процентные и учетные ставки j-того периода расчете процентов

Задачи с переменными ставками можно решить несколько иным путем – рассчитав сначала средние процентные ставки, а затем найти наращенную сумму по средней ставке. Расчет средних процентных ставок (или расчет средних доходностей) вообще очень распространенная в финансах операция. Для ее выполнения полезно опять вспомнить о математико-статистической природе процентных ставок. Так как начисление простых процентов происходит в арифметической прогрессии, средняя простая ставка рассчитывается как средняя арифметическая взвешенная.

Сложные проценты растут в геометрической прогрессии, поэтому средняя сложная процентная ставка рассчитывается как средняя геометрическая взвешенная. В качестве весов в обоих случаях используются продолжительности периодов, для которых действовала фиксированная ставка.

Простые ставки усредняются по следующим формулам:

- средняя простая процентная ставка ( ):

- средняя простая учетная ставка ( ):

Сложные ставки усредняются по следующим формулам:

- средняя сложная процентная ставка ( ):

- средняя сложная учетная ставка ( ):

Пример 1.

По ссуде в размере 2 млн. рублей общей продолжительностью 120 дней в течение первых двух месяцев будут начисляться 30% годовых, а начиная с 61 дня ежемесячно простая процентная ставка будет увеличиваться на 5% (обыкновенные проценты). Найти наращенную сумму ссуды.

Решение.

Фактически, ссуда разбивается на несколько составляющих, по каждой из которых установлены свои условия. Необходимо найти наращенные суммы по каждой из составляющих, а затем сложить их.

Точный расчет:

- наращенная сумма ссуды по простой процентной ставке:

Расчет на основе средней ставки:

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. Банк предлагает своему клиенту-заемщику следующие условия предоставления кредита: первое полугодие — 80% годовых (простые проценты), каждый следующий квартал ставка возрастает на 8%. Проценты начисляются только на первоначальную сумму предоставленного кредита. Определить наращенную сумму долга, если банк предоставил кредит на сумму 50 млн. руб.

Задача 2. Строительная фирма получила кредит в банке на сумму 100,0 млн. руб. сроком на 5 лет; сложная процентная ставка по кредиту определена в 10% для 1-го года, для 2-го предусмотрена надбавка к процентной ставке в размере 2%, для 3-го года и последующих лет — в размере 2%. Определить сумму долга, подлежащую погашению в конце срока займа.