2. Дисконтирование и учет по простым и сложным ставкам

1. Дисконтирование и учет по простым ставкам

Термин дисконтирование употребляется как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени. Дисконтирование (учет) позволяет рассчитывать современную (текущую) стоимость будущей суммы денег.

Если наращение – это определение будущей суммы денег S по известному значению настоящей суммы денег P, то дисконтирование – это определение настоящей стоимости денег P по значению будущей суммы денег S.

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P. Такая ситуация может возникнуть, например при разработке условий контракта.

Расчет современной суммы денег необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче ссуды. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называется учетом, а удержанные проценты - дисконтом. В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования - математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае используется ставка наращения , во втором - учетная ставка d.

Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды.

где D - дисконт.

В банковском деле процедура дисконтирования (учета) появилась из операции учета векселей. Вексель – обязательство вернуть указанную в векселе сумму (номинал векселя, обозначим его S), в указанный срок. Если держатель векселя (его собственник в данный момент) желает обменять вексель на деньги, он обращается в банк с предложением учесть имеющийся у него вексель, т.е. купить его за сумму P меньшую, чем номинал S. Такая сделка называется дисконтированием, а сумма скидки с номинала – дисконтом. Дисконт рассчитывается через процент, взимаемый банками с суммы векселя при учете векселя, этот процент называется учетной ставкой или учетным процентом.

Обозначим:

S – номинал векселя;

n – срок действия векселя;

d_s – простая учетная ставка;

D – дисконт, т.е. скидка с номинала при учете векселя;

P – цена векселя, т.е. сумма денег, которую получит продавец векселя при его учете.

D = S – P или P = S – D.

Легко заметить, что схема дисконтирования очень похожа на схему наращения. Величины P и S, D и I совпадают. Разница заключается в том, что в схеме наращения в основу расчетов положена выдаваемая ссуда P, а вычисляется возвращаемая ссуда с процентами S, при дисконтировании же в основу положен номинал векселя S (т.е. возвращаемая сумма), а рассчитывается сумма денег P, которую получит продавец векселя.

Еще одно отличие процедур учета и наращения. При наращении ставка r считается на величину ссуды P, а при дисконтировании учетная ставка d считается на номинал векселя S.

Сопоставим:

Очевидно, что при одинаковых величинах S и P учетная ставка будет меньше ставки наращения.

Запишем формулу расчета P при известных S и d при годичном сроке векселя: P = S (1 – d).

Пусть срок действия векселя n лет, где n – неотрицательное число, в том числе дробное. Тогда формула для дисконтирования векселя n-летнего срока про простой учетной ставке d_s примет вид:

Видно, что n и d_s могут быть такими, что может оказаться nd_s > 1 и P cтанет меньше нуля. Это, конечно же, невозможно: никто не согласится отдать вексель, да еще уплатить за это сумму, равную S(nd_s – 1). Поэтому дисконтирование применяют так, чтобы было 1 > nd_s > 0.

Для процентной ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной - дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная - в наращении.

Ставка	Прямая задача	Обратная задача

Учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Например, при d_s = 20 % уже 5-ти летний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Пример1.

Какую цену заплатит инвестор за бескупонную облигацию, номинальная стоимость которой 500 тыс. руб., а срок погашения — 270 дней, если требуемая норма доходности — 20 %?

Решение.

По формуле:

- при использовании обыкновенных процентов:

- точных процентов:

Пример 2.

Простой вексель на сумму 100 тыс. руб. с оплатой через 90 дней учитывается в банке немедленно после получения. Необходимо определить сумму, полученную владельцем векселя при учетной ставке 15 %.

Решение.

Пример 3.

На какую сумму должен быть выписан вексель сроком 90 дней, чтобы поставщик, проведя операцию учета, получил стоимость товаров (100 тыс. руб.) в полном объеме, если учетная ставка — 15 %?

Решение.

Определяем будущую стоимость (номинал) векселя по формуле:

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. Вексель был учтен за 15 дней до срока погашения по ставке 18% годовых. В результате учета владелец векселя получил 30500 руб. Определить номинальную стоимость векселя.

Задача 2. Долговое обязательство 300 тыс. руб. должно быть погашено через 100 дней с процентами 18% годовых (простая процентная ставка). Владелец обязательства учел наращенную сумму обязательства в банке за 15 дней до наступления срока по учетной ставке 24%. Определить полученную сумму после учета.

Задача 3. Фирма приобрела в банке вексель, по которому через год должна получить 30,0 млн. руб. (номинальная стоимость векселя). В момент приобретения цена векселя составила 20,0 млн. руб. Определить доходность этой сделки, т.е. размер процентной ставки.