- •Введение
- •Тема 1. Логика высказываний
- •1.1. Понятие высказывания
- •1.2. Логические операции
- •1. Отрицание или инверсия ( – не)
- •Конъюнкция ( ,, ·, логическое и )
- •4. Импликация ( ) “если а, то b”
- •6. Сумма по модулю два
- •7. Штрих Шеффера ( , обратная конъюнкция и – не)
- •8. Стрелка Пирса ( , обратная дизъюнкция или – не )
- •1.3. Булевы функции
- •1.3.1. Некоторые определения из теории множеств
- •1.3.2. Булевы функции
- •1.4. Формулы
- •1.5. Равносильные формулы
- •1.6. Подстановка и замена
- •1.7. Формы представления высказываний
- •1.8. Минимизация сложных высказываний методом Квайна
- •1.9. Полные системы функций
- •1.9.1. Система функций { }
- •1.9.2. Замкнутые классы
- •1.9.3. Функциональная полнота
- •Тема 2. Логические исчисления
- •2.1. Интерпретация формул
- •2.2. Примеры тождественно истинных формул высказываний
- •2.3. Формальные теории
- •Выводимость.
- •2.5. Интерпретация формальных теорий
- •2.6. Исчисление высказываний.
- •2.7. Производные правила вывода
- •2.8. Дедукция
- •2.9. Некоторые теоремы теории £
- •Тема 3. Логика и исчисление предикатов
- •3.1. Предикаты
- •3.2. Исчисление предикатов
- •3.3. Интерпретация
- •3.4. Основные равносильности для предикатов
- •3.5. Приведенная форма представления предикатов
- •Тема 4. Автоматическое доказательство теорем
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Доказательство от противного
- •4.3.Правило резолюции для исчисления высказываний
- •4.4. Правило резолюции для исчисления предикатов
- •4.5. Основные положения мр (выводы)
- •4.6. Логическое программирование
- •Тема 5. Теория алгоритмов
- •5.1. Интуитивное понятие алгоритма
- •5.2. Конкретизация понятия алгоритма
- •5.2.1. Машины Тьюринга
- •5.2.3. Рекурсивные функции
- •5.2.3. Нормальные алгорифмы Маркова
- •5.3. Алгоритмически неразрешимые проблемы
- •5.3.1. Проблема самоприменимости
- •5.3.1.1. Нумерация мт
- •5.3.1.2. Самоприменимость мт
- •5.3.2. Проблема останова
- •5.3.3. Разрешимые и неразрешимые задачи математики
- •5.4. Характеристики сложности вычислений
- •5.5. Классы сложности задач
- •5.5.1. Р задачи
- •5.5.2. Np задачи
2.6. Исчисление высказываний.
Опишем формальную теорию исчисления высказываний.
Исчисление высказываний – это формальная теория £, которой:
Алфавит:
- буквы (A,B,…Z);
- специальные символы ⌐ → ( ).
Формулы:
любая буква A, B,…Z – формула;
если А, В – формулы, то (А), (⌐А), (А→ В) – формулы.
Аксиомы:
А1:
А2:
А3:
Выражения А1-А3 называются схемами аксиом, т. к. каждая из них порождает бесконечное множество формул. Вместо А, В и С можно подставлять любые формулы.
Правило вывода: правило modus ponens (m.p.):
A и B- любые формулы. Т. о. множество аксиом теории £ - бесконечно. Множество правил вывода также бесконечно.
2.7. Производные правила вывода
Исчисление высказываний £ достаточно богатая формальная теория, в которой можно вывести многие правила вывода.
Теорема 1.
- закон тождества.
Доказательство.
1. А1: . Выполним замену { }. Получим:
.
2. А1: . Выполним замену { }. Получим:
.
3. Из 1 и 2 по правилу m.p. получим:
.
4. A1: {A/B}. Получим: .
5. Из 3 и 4 по правилу m.p. получим .
Теорема 2
А - добавление антцедента.
Доказательство.
1. А - гипотеза
2. А1:
3. Из 1 и 3 по правилу m.p. получаем
Всякую доказанную выводимость можно использовать как новое производное правило вывода.
Если имеется множество общезначимых формул, то из него можно вывести только общезначимые формулы.
2.8. Дедукция
В теории £ импликация тесно связана с выводимостью. Теорема дедукции используется при доказательстве теорем, т. к. дает нам новое правило вывода.
Теорема (дедукции). Если Г – множество формул, А и B Г и A|-£B, то Г|-А→В.
В частности A|-B, то А→В.
Доказательство. Пусть E1,E2,….En вывод B из Г, A. En = B. Покажем, что Г|-£А→ Ei, .
Пусть i=1.
Возможны 3 случая.
1) Пусть Е1 – аксиома. Тогда рассмотрим вывод:
1. Е1
2. А1: . Выполним замену {А/Е1, В/А}. Получим:
3. Из 1 и 2 по правилу m.p. получаем |-£А→ E1.
2) Пусть Е1 Г. Доказательство аналогично 1).
3) Пусть Е1 А. Тогда по закону тождества (теорема1) , следовательно,
Таким образом Г .
Пусть i<k. Рассмотрим вывод Ek. Возможны 4 случая:
1) Ek – аксиома.
2) Е1 Г.
3) Е1 А.
4) Ek получена из формул Ei и Ej по правилу m.p., причем i,j<k и Ei=Ej Ek.
Для 1), 2), 3) доказательство аналогично доказательству при i=1.
Для 4) случая:
1. (i)
2. (j)
3. А2: . Выполним подстановку {Ei/B, Ek/C}, получим (n)
4. По правилу m.p. из (j) и (n) получаем (n+1)
5. По правилу m.p. из (j) и (n+1) получаем (n+2) ч.т.д.
Таким образом, для любого k, в том числе при k=n. Но En=B .
Схема аксиом A3 теории £ в доказательстве не использовалась, поэтому теорема дедукции имеет место для более широкого класса теорий, чем £.
Следствие 1. Если , то и обратно.
Доказательство. По теореме дедукции, если , то . Пусть Г={0}. Тогда имеем Следствие 1.
Следствие 2. (правило транзитивности).
Доказательство.
1. Гипотеза .
2. Гипотеза с.
3. Гипотеза А.
4. По правилу m.p. из 1 и 3 получаем B.
5. По правилу m.p. из 2 и 4 получаем C
6. Из 1-5 получаем: если , - гипотезы Г, то .
7. По теореме дедукции .
Следствие 3. (правило сечения).
Доказательство.
1. Гипотеза .
2. Гипотеза A.
3. По правилу m.p. из 1 и 2 получим .
4. В – гипотеза.
5. По правилу m.p. из 3 и 4 получим С.
6. Из 1-5 получаем:
7. по теореме дедукции .