0. Выводимость.

Пусть F₁,F₂,….F_n,G – формулы теории (Ф). Применяя к ним правила вывода R можно получить некоторую совокупность формул Ф1, такую, что . Про формулы из Ф1 можно сказать, что они выводятся из Ф за один шаг. Далее можно рассматривать множество формул Ф2, выводимых из Ф1 за один шаг, т. е. из Ф они выводятся за два шага , и т. д. Некоторая формула А будет считаться выводимой из Ф, если она выводима из Ф за конечное множество шагов, т. е. принадлежит множеству Фm.

Примеры.

1. Пусть Ф=х1. Тогда x1{…}=A, т. е. с помощью правила подстановки можно получить любую однобуквенную формулу. Вывод: х,А., т. е. если из некоторого заданного множества формул выводима однобуквенная формула хi, то из этого множества выводимы все формулы.

2. Пусть Ф=(x1->x2). Тогда (x1->x2){( x1->x2)//x1}=( (x1->x2)->x2). Следовательно из Ф выводима формула ( (x1->x2)->x2) и сама формула (x1->x2). Применим к этим двум формулам правило mp. Получим формулу х2. Если A произвольная формула, то мы можем получить ее из х2 по правилу подстановки.

Вывод: Если все формулы некоторого множества Ф’ выводимы из множества Ф, а А выводима из Ф’, то А выводима из Ф

3. Пусть Ф={A, }. Тогда из Ф выводима любая формула. Применяя mp к формулам , получаем формулу .Еще раз применим mp к , получим х. Следовательно, мы можем вывести любую формулу. Вывод: Если из какой-то системы формул можно вывести А и то такая система формул называется противоречивой, из нее выводится любая формула.

Выводом формулы G из формул F₁,F₂,….F_n в формальной теории называется такая последовательность формул E₁,E₂,….E_k, что E_k=G, а любая формула E_i (i<k) является либо аксиомой, либо исходной формулой, либо непосредственно выводима из ранее полученных формул.

Если в теории существует вывод G из формул F₁,F₂,….F_n, то это записывают следующим образом:

F₁,F₂,….F_n , где F₁,F₂,….F_n – гипотезы.

Если , то G – теорема (т. е. теорема – это формула, выводимая из аксиом без гипотез).

Если , то , где - любые множества формул (при добавлении лишних гипотез выводимость сохраняется).

2.5. Интерпретация формальных теорий

Интерпретацией формальной теории в область интерпретации М называется функция , которая каждой формуле формальной теории ставит в соответствие некоторое содержательное высказывание относительно объектов множества М. Если соответствующее высказывание истинно, то говорят, что формула выполняется в интерпретации I.

Интерпретация называется моделью множества формул Г, если все формулы выполняются в данной интерпретации.

Если формула истинна в любой интерпретации, то это тавтология, если формула ложна в любой интерпретации, то это противоречие.

Формальная теория называется семантически непротиворечивой, если ни одна ее теорема не является противоречием.

Модель для формальной теории существует тогда и только тогда, когда она семантически непротиворечива.

Формальная теория формально непротиворечива, если в ней нельзя одновременно вывести формулу F и ее отрицание.

Формальная теория называется полной, если каждому истинному высказыванию модели М соответствует теорема теории .

Если для множества М существует формально полная непротиворечивая теория , то множество М называется аксиоматизируемым или формализуемым.

Формальная теория называется разрешимой, если существует алгоритм, который определяет, является ли формула теоремой теории.