1.9.3. Функциональная полнота
Класс функций F называется полным, если его замыкание совпадает с Pn:
.
Другими словами, множество функций F образует полную систему, если любая функция реализуема в виде формулы над F.
Теорема.
Пусть заданы две системы функций
и
.
Тогда, если система F – полная и все функции из F реализуемы формулами над G, то система G тоже полная.
Доказательство. Пусть h
– произвольная функция,
.
Тогда [F]=Pn,
следовательно, h реализуема
формулой
,
базисом которой является F
(
).
Если выполнить замену подформулы fi
на подформулу
в формуле
,
то мы получим формулу над G.
Следовательно, функция h
реализуется формулой
.
Примеры:
Система {
}
– полная, т. к. любая логическая операция
может быть выражена через дизъюнкцию,
конъюнкцию и отрицание;Система {
}
– полная, т. к.
Система {
}
– полная, т. к.
Система {|} – полная, т. к.
,
а {
}и{
}
– полные системы.Система {
}
– полная, т. к.
Представление
логической операции системой{
}называется
полиномом Жегалкина. Таким образом,
всякая логическая операция представима
в виде
где
- сложение по модулю 2, знак · обозначает
конъюнкцию,
.
Теорема Поста: Система логических операций полна тогда и только тогда, когда она содержит хотя бы одну функцию, не сохраняющую 0, одну функцию, не сохраняющую 1, хотя бы одну несамодвойственную функцию, хотя бы одну нелинейную функцию и хотя бы одну немонотонную функцию.
Пример.
Докажем полноту системы {,,1}.
f |
T0 |
T1 |
T* |
TL |
TM |
В каждом столбце должен быть хотя бы один «-» |
xy |
+ |
- |
- |
+ |
- |
|
xy |
+ |
+ |
- |
- |
+ |
|
1 |
- |
+ |
- |
+ |
+ |
Проверка на принадлежность классу T0.
Проверка на принадлежность классу T1.
Проверка на принадлежность классу T*.
Проверка на принадлежность классу TL.
Проверка на принадлежность классу TM.
f(0,0)=0
f(0,1)=1
f(1,0)=1
f(1,1)=0
f(0,0)=0
f(0,1)=1
f(1,0)=1
f(1,1)=1
Тема 2. Логические исчисления
Основная задача математической логики – формализация правильных способов рассуждения. Элементами логических рассуждений являются утверждения, которые либо истинны, либо ложны (простые высказывание или пропозициональные переменные). Из простых высказываний с помощью логических связок (операций) могут быть построены сложные высказывания.
Таблицы истинности позволяют ответить на многие вопросы, касающиеся формул логики высказываний: о равносильности формул, о противоречивости и т. п. Но более сложные вопросы решить с помощью таблиц истинности нельзя. Поэтому рассмотрим другой метод – метод формальных аксиоматических теорий.
2.1. Интерпретация формул
Пусть A(x1,x2,…xn) – пропозициональная формула, где x1,x2,…xn – пропозициональные переменные. Конкретный набор значений, который принимают переменные x1,x2,…xn называется интерпретацией.
I(A) – значение формулы в интерпретации I.
В одной интерпретации формула может быть истинной, а в другой – ложной.
Формула, истинная в какой- то интерпретации – выполнимая.
Формула истинная во всех интерпретациях – тавтология (тождественно истинная формула), иначе – противоречие.
Пример 1.
Докажем, что формула является тавтологией.
Пример 2.
Докажем, что формула является выполнимой.
